グリーンの定理（グリーンのていり、英: Green's theorem）は、ベクトル解析の定理である[1][2]。イギリスの物理学者ジョージ・グリーンが導出した。２つの異なる定理がそれぞれグリーンの定理と呼ばれる。詳細は以下に記す。
グリーンの定理（2次元）

2重積分と線積分との関係を表す数学公式である。これを3次元に拡張したものがストークスの定理であり、また一般化されたストークスの定理の特殊な場合（2次元空間内の1次微分形式と2次微分形式の関係式）とも考えられる。
公式

閉曲線 C で囲まれた領域 D を考える場合、C1 級関数 P(x, y), Q(x, y) について、以下が成り立つ。

∮ C ( P d x + Q d y ) = ∬ D ( ∂ Q ∂ x − ∂ P ∂ y ) d x d y {\displaystyle \oint _{C}(P\mathrm {d} x+Q\mathrm {d} y)=\iint _{D}\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\mathrm {d} x\mathrm {d} y}

すなわち、P(x, y), Q(x, y)のC上の線積分が、その外微分の領域D上の重積分に一致する。
定理の成立条件
領域と境界の条件

領域D としては、境界が区分的に滑らかな単一閉曲線Cとする単連結領域のほかに、多重連結領域を考えることができる。多重連結領域の場合には、その境界が区分的に滑らかな閉曲線C1、C2、…、Cn で与えられるとし、C2、…、Cn がC1 の内部に含まれるとしたときに、C2、…、Cn の向き付けは、正の方向に進んだときに、領域D の内部が左側に位置するようにとるものとする。すなわち、外部の境界C1 の向き付けが反時計回りであるのに対し、内部の境界C2、…、Cn の向き付けは時計回りとする。
関数の連続微分可能性

定理の成立条件として、P、Q がそれぞれy、x について1回連続微分可能（C1級）が仮定されることが多いが、実際は∂Q/∂x、∂P/∂yが存在し、その差のみが連続であれば十分であることが、1900年、エドゥアール・グルサ（英語版）によって示され[3]、その後、サロモン・ボホナーによっても、1930年代に同様な指摘がなされている[4]。
一般化されたストークスの定理との対応

グリーンの定理は、以下のように一般化されたストークスの定理において、R2の有界閉領域D 上で1次の微分形式ωを考えた場合に相当する。 ∫ ∂ D ω = ∫ D d ω {\displaystyle \int _{\partial D}\omega =\int _{D}\mathrm {d} \omega }

実際、1形式 ω = P d x + Q d y , {\displaystyle \omega =P\mathrm {d} x+Q\mathrm {d} y,\,}

に対して、その外微分は d ω = ( ∂ Q ∂ x − ∂ P ∂ y ) d x ∧ d y {\displaystyle \mathrm {d} \omega ={\biggl (}{\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}{\biggr )}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y}