[ a , b ] 3 = ( e 3 , [ a , b ] ) = 。 0 a 1 b 1 0 a 2 b 2 1 a 3 b 3 。 = a 1 b 2 − a 2 b 1 {\displaystyle [{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}]_{3}=({\boldsymbol {e}}_{3},[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}])={\begin{vmatrix}0&a_{1}&b_{1}\\0&a_{2}&b_{2}\\1&a_{3}&b_{3}\\\end{vmatrix}}=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}

あるいは

[ a , b ] ≐ ( a 2 b 3 − a 3 b 2 a 3 b 1 − a 1 b 3 a 1 b 2 − a 2 b 1 ) {\displaystyle [{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}]\doteq {\begin{pmatrix}a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\\\end{pmatrix}}}

となる。以上のことを形式的に

[ a , b ] = 。 e 1 a 1 b 1 e 2 a 2 b 2 e 3 a 3 b 3 。 {\displaystyle [{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}]={\begin{vmatrix}{\boldsymbol {e}}_{1}&a_{1}&b_{1}\\{\boldsymbol {e}}_{2}&a_{2}&b_{2}\\{\boldsymbol {e}}_{3}&a_{3}&b_{3}\end{vmatrix}}}

と表現することもある。

エディントンのイプシロン εijk を用いると

[ a , b ] i = ∑ j , k ϵ i j k a j b k {\displaystyle [{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}]_{i}=\sum _{j,k}\epsilon _{ijk}a_{j}b_{k}}

である。
クロス積の幾何的意味（図1）2つのベクトルのクロス積の大きさは、それらが作る平行四辺形の大きさとなる。（図2）3つのベクトルのクロス積は、平行六面体を定義する。

2つのベクトルのクロス積は、2つのベクトルが作る平行四辺形の大きさに等しい（図1）。

‖ a × b ‖ = ‖ a ‖ ‖ b ‖ 。 sin ⁡ θ 。 {\displaystyle \left\|{\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}}\right\|=\left\|{\boldsymbol {a}}\right\|\left\|{\boldsymbol {b}}\right\|\left|\sin \theta \right|}

また、3つのベクトル a、b、cは、平行六面体を定義する。（図2）。この平行六面体の体積 Vについて、

V = 。 a ⋅ ( b × c ) 。 {\displaystyle V=|{\boldsymbol {a}}\cdot ({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}})|}

が成り立つ。ここで絶対値記号を付けたのは、3つのベクトルのクロス積が負になる場合を考慮してのことである。

なお、

a ⋅ ( b × c ) = b ⋅ ( c × a ) = c ⋅ ( a × b ) {\displaystyle {\boldsymbol {a}}\cdot ({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}})={\boldsymbol {b}}\cdot ({\boldsymbol {c}}\times {\boldsymbol {a}})={\boldsymbol {c}}\cdot ({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})}

である。
性質
分配律

一般に分配律

a × (b + c) = a × b + a × c （角括弧表記では[a, b+c] = [a, b] + [a, c]）

が成り立つ。
反交換律

一般に反交換律

a × b = ? b × a （角括弧表記では[b, a] = -[a, b]）

が成り立つ。これは、行列式の交代性やリー代数の反交換性からも説明できる。特に、自分自身とのベクトル積は

[ a , a ] = 0 {\displaystyle [{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {a}}]={\boldsymbol {0}}}

であり恒等的に零ベクトルである。（複零性）

内積の性質、

( b , a ) = ( a , b ) {\displaystyle ({\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {a}})=({\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}})}

( a , a ) = 。 a 。 2 {\displaystyle ({\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {a}})=|{\boldsymbol {a}}|^{2}}

と異なることに注意が必要。
双線型性

行列式の多重線型性から、ベクトル積も双線型性である。任意のベクトルに a、b、c とスカラー k、l に対して

[ a , k b + l c ] = k [ a , b ] + l [ a , c ] {\displaystyle [{\boldsymbol {a}},k{\boldsymbol {b}}+l{\boldsymbol {c}}]=k[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}]+l[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {c}}]}

[ k b + l c , a ] = k [ b , a ] + l [ c , a ] {\displaystyle [k{\boldsymbol {b}}+l{\boldsymbol {c}},{\boldsymbol {a}}]=k[{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {a}}]+l[{\boldsymbol {c}},{\boldsymbol {a}}]}

が成り立つ。特に k=l=0 であれば

[ a , 0 ] = [ 0 , a ] = 0 {\displaystyle [{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {0}}]=[{\boldsymbol {0}},{\boldsymbol {a}}]={\boldsymbol {0}}}

である。内積（スカラー積）の場合は零ベクトルとの積はスカラーのゼロであるが、ベクトル積の場合は零ベクトルであることに注意が必要。
ヤコビ恒等式

ベクトル積による演算結果はベクトルなので、別のベクトルとのベクトル積を考えることができる。3つのベクトルのベクトル積はベクトル三重積と呼ばれている。