定義1のカプレカー数は無数ある。例えば、9, 99, 999, 9999, 99999, … のように"9"のぞろ目の数は全てこの定義のカプレカー数である。 整数の桁を並べ替えて、最大にしたものと最小にしたものとの差を取る。この操作によって元の値に等しくなる数をカプレカー数と呼ぶ。 例えば、7641 − 1467 = 6174 であるから、6174 はこの定義でのカプレカー数である。10進4桁では唯一のものであり、カプレカー定数とも呼ばれる。3桁における唯一のカプレカー定数は、495 である。 この定義でのカプレカー数(カプレカー定数)を小さな順に並べると、こうなる[13]。0, 495, 6174, 549945, 631764, 63317664, 97508421, 554999445, 864197532, 6333176664, … なお、容易に分かるように、この定義でのカプレカー数は全て9の倍数である。 最初の数として 2005 を取り、上記の操作を繰り返すと5200 − 0025 = 51757551 − 1557 = 59949954 − 4599 = 53555553 − 3555 = 19989981 − 1899 = 80828820 − 0288 = 85328532 − 2358 = 61747641 − 1467 = 6174 となり、この後は 6174 が繰り返される。どのような4桁の数でも最終的に 0 または 6174 になることが確かめられる(1111 の倍数だけが 0 になり,その他は 6174 になる)。カプレカル自身は4桁の数だけを考察したが、任意の桁数の整数で同じことが考えられる。ある桁数の整数は有限個であるから、この操作を繰り返すと、最終的に必ずループになる。ループの周期が 1 である場合に、その整数をカプレカー数と呼ぶのである。 この定義のカプレカー数は無数ある。例えば、6174, 631764, 63317664, 6...333...17...666...4(途中に出現する"3"と"6"との長さが等しいもの)は全てカプレカー数である。
定義2(カプレカー定数)
脚注^ a b Kaprekar 1980.
^ D. R. Kaprekar (1949-03). “217 Another Solitaire Game”. Scripta Mathematica 15 (1): 244-245.
^ マーティン・ガードナー 著、一松信 訳『メイトリックス博士の驚異の数秘術』紀伊國屋書店、1978年、155-156頁。
^ 西山豊「 ⇒6174の不思議」(PDF)『理系への数学』、現代数学社、2006年1月、9-12頁、2021年3月19日閲覧。
^ サム・パーク編 著、蟹江幸博 訳『数学、それは宇宙の言葉 : 数学者が語る50のヴィジョン』岩波書店、2020年、1-6頁。
^ 秋山仁『NHK 算数大すき』日本放送出版協会、1992年。
^ マラーティー語でのつづり ??????? の発音
^ 片山 1988.
^ 亀井 2021.
^ 10002 = 1000000 であり、1000 + 000 = 1000 であるが、1000 はカプレカー数ではない。
^ オンライン整数列大辞典の数列 A006886
^ オンライン整数列大辞典の数列 A053816
^ A099009
参考文献
D. R. Kaprekar (1980?1981). “On Kaprekar numbers”. Journal of Recreational Mathematics 13: 81?82.
M. ラインズ 著、片山孝次 訳『数 : その意外な表情』岩波書店、1988年。
亀井哲治郎(著)、数学教育協議会(編)「6174は「カプレカル数」と呼ぼう!」『数学教室』こ・そ・あ・ど/んなこと、あけび書房、2021年4月、72-73頁。
外部リンク
『カプレカ数(特に3桁の場合)について』 - 高校数学の美しい物語
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Weisstein, Eric W. "Kaprekar Routine". mathworld.wolfram.com (英語). - 第2の定義によるカプレカー数
Yutaka Nishiyama (2006年3月1日). “ ⇒Mysterious Number 6174”. Plus Magazine. University of Cambridge. 2021年3月29日閲覧。