オイラーの公式
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注釈^ 冪級数 ∑ n = 0 ∞ a n x n {\displaystyle \scriptstyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}} の収束半径 R は、極限 r = lim n → ∞ 。 a n a n + 1 。 {\displaystyle \scriptstyle r=\lim \limits _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|} が存在すれば、R = r である。（極限が存在しない場合、収束半径はこの方法では求まらない。）ex の収束半径は lim n → ∞ 。 1 / n ! 1 / ( n + 1 ) ! 。 = lim n → ∞ ( n + 1 ) = ∞ {\displaystyle {\begin{aligned}\scriptstyle \lim \limits _{n\to \infty }\left|{\frac {1/n!}{1/(n+1)!}}\right|&\scriptstyle =\lim \limits _{n\to \infty }(n+1)\\\scriptstyle &\scriptstyle =\infty \end{aligned}}} となる。cos x の収束半径は、x2 についての級数と考えたときの収束半径に等しい。 lim n → ∞ 。 ( − 1 ) n / ( 2 n ) ! ( − 1 ) n + 1 / { 2 ( n + 1 ) } ! 。 = lim n → ∞ { 2 ( n + 1 ) } ! ( 2 n ) ! = lim n → ∞ ( 2 n + 2 ) ( 2 n + 1 ) = ∞ {\displaystyle {\begin{aligned}\scriptstyle \lim \limits _{n\to \infty }\left|{\frac {(-1)^{n}/(2n)!}{(-1)^{n+1}/\{2(n+1)\}!}}\right|&\scriptstyle =\lim \limits _{n\to \infty }{\frac {\{2(n+1)\}!}{(2n)!}}\\\scriptstyle &\scriptstyle =\lim \limits _{n\to \infty }(2n+2)(2n+1)\\\scriptstyle &\scriptstyle =\infty \end{aligned}}} sin x の収束半径は、同様に lim n → ∞ 。 ( − 1 ) n / ( 2 n + 1 ) ! ( − 1 ) n + 1 / { 2 ( n + 1 ) + 1 } ! 。 = lim n → ∞ ( 2 n + 3 ) ! ( 2 n + 1 ) ! = lim n → ∞ ( 2 n + 3 ) ( 2 n + 2 ) = ∞ {\displaystyle {\begin{aligned}\scriptstyle \lim \limits _{n\to \infty }\left|{\frac {(-1)^{n}/(2n+1)!}{(-1)^{n+1}/\{2(n+1)+1\}!}}\right|&\scriptstyle =\lim \limits _{n\to \infty }{\frac {(2n+3)!}{(2n+1)!}}\\\scriptstyle &\scriptstyle =\lim \limits _{n\to \infty }(2n+3)(2n+2)\\\scriptstyle &\scriptstyle =\infty \end{aligned}}} 以上で (1), (2), (3) の右辺の収束半径が ∞ であることが証明された。
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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』
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