と定義される[16]。ここで ˆK は運動エネルギー演算子、ˆp は運動量演算子である。運動エネルギーを表す文字としてはしばしば K や T が用いられる。

位置エネルギーも同様に位置演算子の関数に置き換えられる[16]。 V ( r ) → V ^ ( r ^ ) . {\displaystyle V({\boldsymbol {r}})\to {\hat {V}}({\hat {\boldsymbol {r}}}).}

ここで V, ˆV は位置エネルギーおよび位置エネルギー演算子、r, ˆr は粒子の位置および位置演算子である。

1 粒子系のハミルトニアン ˆH は運動エネルギーと位置エネルギーの和として与えられる。 H ^ ( p ^ , r ^ ) = K ^ ( p ^ ) + V ^ ( r ^ ) = p ^ 2 2 m + V ^ ( r ^ ) . {\displaystyle {\hat {H}}({\hat {\boldsymbol {p}}},{\hat {\boldsymbol {r}}})={\hat {K}}({\hat {\boldsymbol {p}}})+{\hat {V}}({\hat {\boldsymbol {r}}})={\frac {{\hat {\boldsymbol {p}}}^{2}\!\!}{2m}}+{\hat {V}}({\hat {\boldsymbol {r}}}).}

量子力学においては、古典力学とは異なり、定常状態でとり得るエネルギー固有値 E は非負でなければならず、固有値は必ずしも連続的ではなくなる[9]。エネルギーの値がこのように離散的になることの効果が、特に低温での熱的な性質に顕著に現れる[9]。「ハミルトニアン」、「固有状態」、および「固有値」も参照
電磁気学

電磁気学において、電磁場のエネルギーは、現象論的なマクスウェルの方程式から U ( t ) = ∫ V 1 2 ( E ( r , t ) ⋅ D ( r , t ) + H ( r , t ) ⋅ B ( r , t ) ) d 3 r {\displaystyle U(t)=\int _{V}{\frac {1}{2}}\left({\boldsymbol {E}}({\boldsymbol {r}},t)\cdot {\boldsymbol {D}}({\boldsymbol {r}},t)+{\boldsymbol {H}}({\boldsymbol {r}},t)\cdot {\boldsymbol {B}}({\boldsymbol {r}},t)\right)\mathrm {d} ^{3}{\boldsymbol {r}}}

と与えられる[17]。ここで E は電場、D は電束密度、H は磁場、B は磁束密度である。また、· はベクトルの内積、V は空間全体およびその体積を表す。特に、真空中では電束密度 D および磁場 H はそれぞれ電場 E と磁束密度 B で置き換えられ、国際単位系を用いれば、真空中の誘電率 ε0 および真空中の透磁率 μ0 を用いて、 U ( t ) = ∫ V 1 2 ( ε 0 E 2 ( r , t ) + 1 μ 0 B 2 ( r , t ) ) d 3 r {\displaystyle U(t)=\int _{V}{\frac {1}{2}}\left(\varepsilon _{0}{\boldsymbol {E}}^{2}({\boldsymbol {r}},t)+{\frac {1}{\mu _{0}}}{\boldsymbol {B}}^{2}({\boldsymbol {r}},t)\right)\mathrm {d} ^{3}{\boldsymbol {r}}}

と表すことができる。また、被積分関数である、電場と電束密度の内積 E · D、および磁場と磁束密度の内積 H · B の和は[注 6]、電磁場のエネルギー密度を与える[18]。 u ( r , t ) = 1 2 ( E ( r , t ) ⋅ D ( r , t ) + H ( r , t ) ⋅ B ( r , t ) ) . {\displaystyle u({\boldsymbol {r}},t)={\frac {1}{2}}\left({\boldsymbol {E}}({\boldsymbol {r}},t)\cdot {\boldsymbol {D}}({\boldsymbol {r}},t)+{\boldsymbol {H}}({\boldsymbol {r}},t)\cdot {\boldsymbol {B}}({\boldsymbol {r}},t)\right).}

真空中のエネルギー密度は、 u ( r , t ) = 1 2 ( ε 0 E 2 ( r , t ) + 1 μ 0 B 2 ( r , t ) ) . {\displaystyle u({\boldsymbol {r}},t)={\frac {1}{2}}\left(\varepsilon _{0}{\boldsymbol {E}}^{2}({\boldsymbol {r}},t)+{\frac {1}{\mu _{0}}}{\boldsymbol {B}}^{2}({\boldsymbol {r}},t)\right).}

である。すなわち、電磁場のエネルギー密度は電磁場の大きさの二乗に比例する。

ある空間における電磁場のエネルギーについて、その時間的変化は電場が電荷に対してなす力学的な仕事と、電磁波として運ばれるものに分けられる[19]。前者の電荷に対する電磁場がなす仕事やそれによって生じる熱はジュール熱と呼ばれる[20]。 − d d t ∫ V u ( r , t ) d 3 r = ∫ V E ( r , t ) ⋅ j ( r , t ) d 3 r + ∫ A ( E ( r A , t ) × H ( r A , t ) ) ⋅ n ( r A ) d A . {\displaystyle -{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{V}u({\boldsymbol {r}},t)\mathrm {d} ^{3}{\boldsymbol {r}}=\int _{V}{\boldsymbol {E}}({\boldsymbol {r}},t)\cdot {\boldsymbol {j}}({\boldsymbol {r}},t)\mathrm {d} ^{3}{\boldsymbol {r}}+\int _{A}\left({\boldsymbol {E}}({\boldsymbol {r}}_{A},t)\times {\boldsymbol {H}}({\boldsymbol {r}}_{A},t)\right)\cdot {\boldsymbol {n}}({\boldsymbol {r}}_{A})\mathrm {d} A.}