この1, 2の手順を数式でより正確に書くと、以下のようになる（これらの式は後で証明する）。なお下式では前節で用いた記号を流用した。 d Φ 1 d t = μ N 1 。 S 1 。 ℓ 1 d I 1 d t {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \Phi _{1}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mu N_{1}|S_{1}|}{\ell _{1}}}{\frac {\mathrm {d} I_{1}}{\mathrm {d} t}}} (A) d Φ 2 d t = 1 N 2 V 2 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \Phi _{2}}{\mathrm {d} t}}={\frac {1}{N_{2}}}V_{2}} (B)

ここで M = k μ 1 N 1 N 2 。 S 1 。 ℓ 1 {\displaystyle M=k{\tfrac {\mu _{1}N_{1}N_{2}|S_{1}|}{\ell _{1}}}} とおけば相互インダクタンスの式は結合係数の定義式 Φ 2 = k Φ 1 {\displaystyle \Phi _{2}=k\Phi _{1}} と(A)、(B)から明らかに従う。

一方自己インダクタンスの式は、上の議論で1次コイル＝2次コイルとすればやはり明らかに従う。（ここで自分自身との結合係数は1であることを用いた。）

よって後は(A)、(B)を示すだけである。
(A)の証明

以下の議論は全て1次コイルに関するものなので、記号を簡単にするため Φ1、N1 等から1次コイルであることを表す添字1を略す。

断面 S 、高さ ℓ {\displaystyle \ell } の円柱 S × [ 0 , ℓ ] {\displaystyle S\times [0,\ell ]} に N 回導線が巻きついたインダクタ（ソレノイド・コイル）を考える。

S 上の任意の一点 P を固定し、以下のような曲線を考え、さらにこの曲線を縁に持つ曲面 K を考える。

円柱内を (P, 0) から (P, 1) へとまっすぐ進み（曲線のこの部分を以下 CP と表記）、

円柱の外側を通って (P, 1) から (P, 0) へと戻る（曲線のこの部分を以下C'P と表記）。

「 ∂ K {\displaystyle \partial K} 」を K の境界とすると、定義より以下が成り立つ： ∂ K = C P ∪ C P ′ {\displaystyle \partial K=C_{P}\cup C'_{P}} (1)

j をインダクタを流れる電流の密度、E を j が誘導する電場、H を E が誘導する磁場とすると、以下が成立する： N d I d t = ( 2 ) d d t ∫ K j ⋅ d S ≈ ( 3 ) d d t ∫ K ∇ × H ⋅ d S = ( 4 ) d d t ∫ ∂ K H ⋅ d s . = ( 5 ) d d t ∫ C P ∪ C P ′ H ⋅ d s ≈ ( 6 ) d d t ∫ C P H ⋅ d s {\displaystyle N{\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} t}}{\underset {(2)}{=}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{K}{\boldsymbol {j}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {S}}{\underset {(3)}{\approx }}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{K}\nabla \times {\boldsymbol {H}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {S}}{\underset {(4)}{=}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{\partial K}{\boldsymbol {H}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}.{\underset {(5)}{=}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{C_{P}\cup C'_{P}}{\boldsymbol {H}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}{\underset {(6)}{\approx }}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{C_{P}}{\boldsymbol {H}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}} (7)

ここで(4)と(5)はそれぞれストークスの定理と(1)から従い、他のものは以下の理由により従う：

(2)：電流密度の定義より、電流密度 j を導線の断面で面積分したものがインダクタを流れる電流 I に等しい。定義より K は導線と N 回交わるので、 ∫ K j ⋅ d S = N I {\displaystyle \int _{K}{\boldsymbol {j}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {S}}=NI} 。

(3)：マクスウェル方程式 ∇ × H = j + ε ∂ E ∂ t {\displaystyle \nabla \times {\boldsymbol {H}}={\boldsymbol {j}}+\varepsilon {\tfrac {\partial {\boldsymbol {E}}}{\partial t}}} と電場の時間微分 ∂ E ∂ t {\displaystyle {\tfrac {\partial {\boldsymbol {E}}}{\partial t}}} が無視できるほど小さいという仮定から従う。