C V = ∂ U ∂ T = ∂ ∂ T ∑ k , α ℏ ω k , α ( 1 e ℏ ω k , α / k B T − 1 + 1 2 ) {\displaystyle C_{V}={\partial U \over \partial T}={\partial \over \partial T}{\sum _{{\boldsymbol {k}},\alpha }\hbar \omega _{{\boldsymbol {k}},\alpha }\left({\frac {1}{e^{\hbar \omega _{{\boldsymbol {k}},\alpha }/k_{B}T}-1}}+{\frac {1}{2}}\right)}}

となる。ħ はディラック定数、kB はボルツマン定数、T は温度である。括弧内の1/2は温度微分で０となるので、最終的な格子比熱の表式

C V = ∂ ∂ T ∑ k , α ℏ ω k , α e ℏ ω k , α / k B T − 1 {\displaystyle C_{V}={\partial \over \partial T}{\sum _{{\boldsymbol {k}},\alpha }{\frac {\hbar \omega _{{\boldsymbol {k}},\alpha }}{e^{\hbar \omega _{{\boldsymbol {k}},\alpha }/k_{B}T}-1}}}}

が得られる。
アインシュタイン模型

全ての格子振動の角振動数 ω が波数 k に依存せず、一定値 ωE とするモデルがアインシュタイン模型である。このとき、波数ベクトル k の総和は第一ブリュアンゾーン内の逆格子点の数 N になる。また、振動モードは１つの縦モードと２つの横モードの合計３つのモード（３次元に由来）が存在するので、総和は

∑ k , α 1 = 3 N {\displaystyle \sum _{{\boldsymbol {k}},\alpha }1=3N}

を与える。つまり、このモデルは角振動数が ωE の 3N 個の独立した調和振動子からなる系と見なせる。これを格子比熱の表式に代入すると

C V = ∂ ∂ T ( 3 N ℏ ω E e ℏ ω E / k B T − 1 ) = 3 N k B ( ℏ ω E k B T ) 2 e ℏ ω E / k B T ( e ℏ ω E / k B T − 1 ) 2 {\displaystyle C_{V}={\partial \over \partial T}\left(3N{\frac {\hbar \omega _{E}}{e^{\hbar \omega _{E}/k_{B}T}-1}}\right)=3Nk_{B}\left({\frac {\hbar \omega _{E}}{k_{B}T}}\right)^{2}{\frac {e^{\hbar \omega _{E}/k_{B}T}}{(e^{\hbar \omega _{E}/k_{B}T}-1)^{2}}}}

となり、角振動数 ωE を温度に換算した

θ E = ℏ ω E k B {\displaystyle \theta _{E}={\hbar \omega _{E} \over k_{B}}}

を用いると

C V = 3 N k B ( θ E T ) 2 e θ E / T ( e θ E / T − 1 ) 2 {\displaystyle C_{V}=3Nk_{B}\left({\frac {\theta _{E}}{T}}\right)^{2}{\frac {e^{\theta _{E}/T}}{(e^{\theta _{E}/T}-1)^{2}}}}

と表される。この式は一般的に、「アインシュタイン模型」あるいは「アインシュタインの比熱式」と呼ばれ、θE はアインシュタイン温度と呼ばれる。
実験事実の再現と乖離

高温領域（ T ≫ θ E {\displaystyle T\gg \theta _{E}} ）では、比熱が C V ≈ 3 N k B {\displaystyle C_{V}\approx 3Nk_{B}} となり、デュロン-プティの法則に漸近することがわかる。また、低温領域（ T ≪ θ E {\displaystyle T\ll \theta _{E}} ）では指数関数的にゼロに近づく。この低温での指数関数的な温度依存性は、フォノンが確率 e − ℏ ω E / k B T {\displaystyle e^{-\hbar \omega _{E}/k_{B}T}} で励起することに起因している。この２点の実験事実に理論的な説明を与えたのが、アインシュタイン模型のとても大きな成果である。

しかし、アインシュタイン模型は低温領域では実験事実を正しく再現しない。上述の通り、低温領域でアインシュタイン模型は指数関数的な温度依存性を示すが、実際の実験では冪関数的な温度依存性を見せ、 T 3 {\displaystyle T^{3}} でゼロに近づく。この原因はアインシュタイン模型が低い角振動数の存在を大胆に無視したからである。フォノンの分散関係は角振動数の低い領域で波数に比例する。この点を修正したモデルはデバイ模型と呼ばれ、ピーター・デバイによって1912年に理論的根拠が与えられた。
脚注[脚注の使い方]
注釈^ 熱容量は示量性の物理量であり、これを質量やモル数などの示量性の量で割って示強性にしたものが比熱である。