この項目では、二項関係について説明しています。命題については「同値」をご覧ください。
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出典検索?: "同値関係" ? ニュース ・ 書籍 ・ スカラー ・ CiNii ・ J-STAGE ・ NDL ・ dlib.jp ・ ジャパンサーチ ・ TWL（2016年12月）

数学において、同値関係（どうちかんけい、英: equivalence relation）とは二項関係であって反射的、対称的、推移的の3つの性質を満たすものをいう。そのことから、与えられた集合上の1つの同値関係はその集合を同値類に分割（類別）することが導かれる。

同値関係にあることを表すのに用いられる記法は文献によってさまざまであるが、与えられた集合上の同値関係 R に関して2つの元 a, b が同値であることを "a ~ b" や "a ≡ b" で表すことが最もよく用いられる。R に関して同値であることを明示する場合には、"a ~R b" や "a ≡R b" あるいは "aRb" などと書かれる。
定義

ある集合 S において、以下の3つの性質をすべて満たす二項関係 ∼ は S 上の同値関係であるという。それらの性質とは S の任意の元 a, b, c に対して、

反射律：a ∼ a.

対称律：a ∼ b ならば b ∼ a.

推移律：a ∼ b かつ b ∼ c ならば a ∼ c.

上の3つをまとめて同値律ということがよくある[1]。∼ が同値関係であるときに、a ∼ b であることを、a と b は同値であるという[1]。
同値関係の例

相等関係 (=)：集合としてあるいは集合の元として同じである。表現形式や構成要素が同一である。

図形の合同関係：位置や裏表や向きの違いを無視して、図形として同じである。

図形の相似関係：裏表・向き・大きさの比率の違いを無視して、図形の "形" としては同じである。

直線の平行関係：アフィン平面内の直線が交わらないか、一致する（傾きが同じである）。

量の比例関係：増え方・減り方の割合としては同じである。

整数の合同関係：ある数で割った余りが同じである。

以下のものは一般には、類における "関係" となる。

集合の濃度の対等 "関係"：集合の中身は別として、集合の大きさとしては同じである。

命題が同値であるという "関係"：2つの命題において、真偽（真理値）が同じである、または互いに片方から他方を証明できる。

諸概念
同値類詳細は「同値類」を参照

集合 S の上に同値関係 ∼ が定義されているときには、S の各元 a に対して a に同値である元を全て集めた集合を考えることができる。この S の部分集合を、a を代表[2]あるいは代表元 (representative) とする同値類 (equivalence class) または単に a の（属する）類[2]と呼び、普通 [a], a, C(a)[3] などと書く： [ a ] := { x ∈ S ∣ a ∼ x } . {\displaystyle [a]:=\{x\in S\mid a\sim x\}.}

また、1つの同値類 X に対して、[x] = X となる S の元 x を1つ定めることを、X の代表元として x をとるという。1つの同値類は、それに含まれている元を任意に選んでそれを代表元とする同値類を作ってもそれはもとと同じ同値類になる（同値類は代表元の取替えによって不変である）： X = [ x ] ,   y ∈ X ⟺ y ∈ [ x ] ⟺ x ∼ y ⟺ x ∈ [ y ] ⟺ [ y ] = X , x ∈ X . {\displaystyle X=[x],\ y\in X\iff y\in [x]\iff x\sim y\iff x\in [y]\iff [y]=X,\,x\in X.}

ゆえに同値類に関する性質を代表元の性質のみによって記述することは、一般には適当ではない。X 上の同値関係 ~ が与えられたとき、X の元に関する性質 P が x ~ y なるとき常に P(x) ならば P(y) を満たすならば、性質 P は同値関係 ~ の下で well-defined であるとか、各同値類上で不変 (class invariant; 類不変) であるなどという。

そのようなものとしてよくあるのが、写像 f: X → Y で、x1 ~ x2 ならば f(x1) = f(x2) なるときである。この場合、f は各同値類上で定数 (class invariant under ~)、あるいは ~ の下で不変 (invariant under ~), より短く ~-不変などという。このようなものは例えば有限群の指標論などで見かけることができる。また、このような写像の性質を可換三角図式として書き表すことができる（不変量なども参照）。文献によっては、不変という代わりに、~ に関する準同型 (morphism; 射) であるとか ~ と両立する (compatible with ~) とか適合する ("respects ~") などのように言うこともある。

より一般に、（ある関係 ~A に関して）同値なものを（別の関係 ~B に関して）同値なものへ写す写像を考えることができて、そのような写像を ~A から ~B への準同型（あるいは射）などと呼ぶ。
商集合

集合 S の同値関係 ∼ から定まる同値類すべてを集めた集合のことを、集合S を同値関係 ∼ で割った集合、あるいは S の ∼ による商集合であるといい、 S / ∼ := { [ x ] ∣ x ∈ S } {\displaystyle S/{\sim }:=\{[x]\mid x\in S\}}

と表す。集合 S の元に対してそれが属する同値類を対応させることにより、Sから商集合への自然な全射 π : S ↠ S / ∼ ;   x ↦ [ x ] {\displaystyle \pi \colon S\twoheadrightarrow S/{\sim };\ x\mapsto [x]}

が与えられる。これを同値関係 ∼ に付随する商写像や標準射影という。
定理 (標準射影の普遍性)[4]
写像 f: X → B が a ~ b ならば f(a) = f(b) を満たすならば、商集合からの写像 g: X/~ → B で f = g ? π（π は標準射影）を満たすものが一意に存在する。さらに、f が全射かつ a ~ b ⇔ f(a) = f(b) を満たすとき、g は全単射となる。

また、S の相異なるすべての同値類から代表元を1つずつ集めて作った S の部分集合のことを、集合 S における同値関係 ∼ の（あるいは商集合 S/∼ の）完全代表系 (complete system of representatives) と呼ぶ。つまり、集合S の部分集合 A が同値関係 ∼ についての完全代表系であるとは、包含写像と標準射影の合成 A ? S ? S/∼; a ? [a] が全単射となることである。
類別詳細は「集合の分割」を参照

集合 S に対して、S の空集合を含まない部分集合族 M であって、M に属するどの2つの相異なる集合は交わりを持たず、M の和集合が S 全体に一致するときに、集合族 M のことを集合 S の類別または分類 (classification)[2] あるいは分割 (partition) であるという。
定理 (同値関係と類別の関係)


集合 X 上の同値関係 ~ は X を類別する。

X の任意の類別に対して X 上の同値関係 ~ が一意的に対応する。

これが同値関係と類別の間の基本的な結果である[5][6][7]。いずれの主張も、X の分割のセル全体のなす集合が X の ~ に関する同値類全体のなす集合に一致する。X の各元 x は X の分割のセルのうちただ1つのみに属するのであるから（かつ、各セルは同値類と同一視できるのだから）、各元 x は X の同値類のうちただ1つのみに属する。従って、X 上で可能な同値関係全体のなす集合と X の分割全体のなす集合との間には自然な全単射が存在することがわかる。
同値核「核 (代数学)」および「核 (集合論)（英語版）」も参照

写像 f の同値核 (equivalence kernel) あるいは f に付随する同値関係[8]とは、 x ∼ y ⟺ f ( x ) = f ( y ) {\displaystyle x\sim y\iff f(x)=f(y)}