抽象代数学において、順序環（じゅんじょかん、英: Ordered ring）は、演算と両立するような全順序が定義された（通常は可換な）環を言う。即ち、R が順序環であるとき、任意の元 a, b, c ∈ R に対し、以下の二つが成り立つ[1]。

a ? b ならば a + c ? b + c.

0 ? a かつ 0 ? b ならば 0 ? ab.

目次

1 例

2 正元

3 絶対値

4 離散順序環

5 性質

6 関連項目

7 出典

例

順序環は算術においてなじみ深い代数系である。整数全体の成す集合 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 、有理数全体の成す集合 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 、実数全体の成す集合 R {\displaystyle \mathbb {R} } はすべて通常の大小関係を順序として順序環となる (後ろの二つは順序体でもある)[2]。それに対し複素数全体の成す集合 C {\displaystyle \mathbb {C} } はいかなる順序のもとでも順序環にはならない（虚数単位 i を0以上としても0以下としても矛盾が生じるため）。
正元

実数の集合における概念のアナロジーとして、0 < c である元 c は正、c < 0 である元 c を負の元と呼ぶ。0 は正でも負でもないとする。

順序環 R の正元全体の成す集合をしばしば R+ と表記する。
絶対値

順序環 R の任意の元 a に対し、以下のように絶対値 |a| を定めることができる。 。 a 。 := { a , if  0 ≤ a , − a , otherwise. {\displaystyle |a|:={\begin{cases}a,&{\mbox{if }}0\leq a,\\-a,&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}

ここで −a は a の加法逆元である。
離散順序環

0 と 1 との間に元を持たないような順序環を、離散順序環 (discrete ordered ring) と呼ぶ。整数全体の成す集合 Z などがその例であり、有理数全体の集合 Q や実数全体の集合 R はそうではない。
性質

Rの任意の元 a, b, c に対し、

a ? b かつ 0 ? c ならば ac ? bc[3]。この性質を順序環の定義に用いることもある。

|ab| = |a| |b|[4]。

自明でない順序環は無限環である[5]。

次の3つのうち、いずれか一つのみが成り立つ（英語版）: a は正、−a は正、あるいは a = 0[6]。この性質は順序環が加法に関してアーベル群かつ全順序群であることから導かれる。これより、 C {\displaystyle \mathbb {C} } が順序環にはならないことが従う。

順序環 R の正元の集合が乗法で閉じているならば、そのときに限り R は零因子を持たない[7]。

任意の 0 でない元の2乗は正になる[8]。実際、a ≠ 0 で a = b2 であるとすると、b ≠ 0 かつ a = (-b )2 となる。上述の性質より b か −b のどちらかは正だから、定義の2番目の性質より a も正である。

関連項目

順序群

順序体

出典

以下の出典には ⇒IsarMathLibプロジェクトの証明を含む。^ Lam, T. Y. (1983), Orderings, valuations and quadratic forms, CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 52, American Mathematical Society, .mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit}.mw-parser-output .citation q{quotes:"\"""\"""'""'"}.mw-parser-output .citation .cs1-lock-free a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/65/Lock-green.svg/9px-Lock-green.svg.png")no-repeat;background-position:right .1em center}.mw-parser-output .citation .cs1-lock-limited a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-registration a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d6/Lock-gray-alt-2.svg/9px-Lock-gray-alt-2.svg.png")no-repeat;background-position:right .1em center}.mw-parser-output .citation .cs1-lock-subscription a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/aa/Lock-red-alt-2.svg/9px-Lock-red-alt-2.svg.png")no-repeat;background-position:right .1em center}.mw-parser-output .cs1-subscription,.mw-parser-output .cs1-registration{color:#555}.mw-parser-output .cs1-subscription span,.mw-parser-output .cs1-registration span{border-bottom:1px dotted;cursor:help}.mw-parser-output .cs1-ws-icon a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4c/Wikisource-logo.svg/12px-Wikisource-logo.svg.png")no-repeat;background-position:right .1em center}.mw-parser-output code.cs1-code{color:inherit;background:inherit;border:inherit;padding:inherit}.mw-parser-output .cs1-hidden-error{display:none;font-size:100%}.mw-parser-output .cs1-visible-error{font-size:100%}.mw-parser-output .cs1-maint{display:none;color:#33aa33;margin-left:0.3em}.mw-parser-output .cs1-subscription,.mw-parser-output .cs1-registration,.mw-parser-output .cs1-format{font-size:95%}.mw-parser-output .cs1-kern-left,.mw-parser-output .cs1-kern-wl-left{padding-left:0.2em}.mw-parser-output .cs1-kern-right,.mw-parser-output .cs1-kern-wl-right{padding-right:0.2em}ISBN 0-8218-0702-1, Zbl 0516.12001 
^ Lam, T. Y. (2001), A first course in noncommutative rings, Graduate Texts in Mathematics, 131 (2nd ed.), New York: Springer-Verlag, pp. xx+385, ISBN 0-387-95183-0, MR1838439, Zbl 0980.16001 
^ OrdRing_ZF_1_L9
^ OrdRing_ZF_2_L5
^ ord_ring_infinite
^ OrdRing_ZF_3_L2, see also OrdGroup_decomp
^ OrdRing_ZF_3_L3
^ OrdRing_ZF_1_L12


更新日時:2017年12月15日(金)21:17
取得日時:2019/12/23 16:15