この項目「体積要素」は翻訳されたばかりのものです。不自然あるいは曖昧な表現などが含まれる可能性があり、このままでは読みづらいかもしれません。（原文：en:Volume_element）
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出典は列挙するだけでなく、脚注などを用いてどの記述の情報源であるかを明記してください。記事の信頼性向上にご協力をお願いいたします。（2017年2月）

数学において、体積要素（たいせきようそ、英: volume element）とは、関数を球面座標系や円柱座標系など様々な座標系において体積について積分する際に現われる概念である。次の式により表現される: d V := ρ ( u 1 , u 2 , u 3 ) d u 1 d u 2 d u 3 . {\displaystyle dV:=\rho (u_{1},u_{2},u_{3})\,du_{1}\,du_{2}\,du_{3}.}

ここで、ui は座標であり、任意の集合 B の体積を次のように計算できるものとする: Volume ⁡ ( B ) := ∫ B ρ ( u 1 , u 2 , u 3 ) d u 1 d u 2 d u 3 . {\displaystyle \operatorname {Volume} (B):=\int _{B}\rho (u_{1},u_{2},u_{3})\,du_{1}\,du_{2}\,du_{3}.}

たとえば、球面座標系においてはdV = u12 sin u2 du1 du2 du3 であり、従って dV = u12 sin u2 である。

体積要素という概念は三次元に留まるものではない。二次元では面積要素（めんせきようそ、area element）と呼ばれることも多く、面積分を行う際に有用である。座標変換の際、（変数変換公式により）体積要素は座標変換のヤコビ行列の行列式の絶対値だけ変化する。この事実から、体積要素は多様体の一種の測度として定義できることが従う。向き付け可能な可微分多様体においては、典型的には体積要素は体積形式、すなわち最高次の微分形式から導かれる。向き付け不可能な多様体においては、典型的には体積要素は（局所的に定義される）体積要素の絶対値であり、1-密度（英語版）を定義する。
目次

1 ユークリッド空間における体積要素

2 線形部分空間における体積要素

3 多様体の体積要素

3.1 曲面の面積要素

3.2 例: 球


4 関連項目

5 脚注

6 参考文献

ユークリッド空間における体積要素

ユークリッド空間においては、体積要素はデカルト座標に沿った微分の積により与えられる。 d V = d x d y d z {\displaystyle \mathrm {d} V=\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z}

他の座標系においては、x = x(u1, u2, u3), y = y(u1, u2, u3), z = z(u1, u2, u3) とするとヤコビ行列を用いて体積要素を以下のように計算できる。 d V = 。 ∂ ( x , y , z ) ∂ ( u 1 , u 2 , u 3 ) 。 d u 1 d u 2 d u 3 {\displaystyle \mathrm {d} V=\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (u_{1},u_{2},u_{3})}}\right|\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}\,\mathrm {d} u_{3}}

たとえば、球面座標系では x = ρ cos ⁡ θ sin ⁡ ϕ y = ρ sin ⁡ θ sin ⁡ ϕ z = ρ cos ⁡ ϕ {\displaystyle {\begin{aligned}x&=\rho \cos \theta \sin \phi \\y&=\rho \sin \theta \sin \phi \\z&=\rho \cos \phi \end{aligned}}}

であるからヤコビアンは 。 ∂ ( x , y , z ) ∂ ( ρ , θ , ϕ ) 。 = ρ 2 sin ⁡ ϕ {\displaystyle \left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\theta ,\phi )}}\right|=\rho ^{2}\sin \phi }

となり、したがって体積要素は以下のように書ける。 d V = ρ 2 sin ⁡ ϕ d ρ d θ d ϕ . {\displaystyle \mathrm {d} V=\rho ^{2}\sin \phi \,\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \phi .}

このことは微分形式が引き戻し（英語版） F* により以下のように変換することの例と見ることができる。 F ∗ ( u d y 1 ∧ ⋯ ∧ d y n ) = ( u ∘ F ) det ( ∂ F j ∂ x i ) d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x n {\displaystyle F^{*}(u\;\mathrm {d} y^{1}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} y^{n})=(u\circ F)\det \left({\frac {\partial F^{j}}{\partial x^{i}}}\right)\mathrm {d} x^{1}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x^{n}}
線形部分空間における体積要素

n-次元ユークリッド空間 Rn の線形部分空間が次の線形独立なベクトルにより張られるものとする。 X 1 , … , X k {\displaystyle X_{1},\dots ,X_{k}}

この部分空間における体積要素を計算する場合、Xi の張る平行多胞体[訳語疑問点]が線形幾何学から Xi のグラム行列の行列式の平方根により与えられることを知っておくと便利である。 det ( X i ⋅ X j ) i , j = 1 … k {\displaystyle {\sqrt {\det(X_{i}\cdot X_{j})_{i,j=1\dots k}}}}

この部分空間上の任意の点 p はある座標 (u1, u2, ..., uk) により以下のように表わされる。 p = u 1 X 1 + ⋯ + u k X k {\displaystyle p=u_{1}X_{1}+\cdots +u_{k}X_{k}}

点 p において、辺を dui とする微小平行多胞体を作ると、その体積はグラム行列の行列式の平方根により与えられる。 det ( ( d u i X i ) ⋅ ( d u j X j ) ) i , j = 1 … k = det ( X i ⋅ X j ) i , j = 1 … k d u 1 d u 2 ⋯ d u k {\displaystyle {\sqrt {\det \left((\mathrm {d} u_{i}X_{i})\cdot (\mathrm {d} u_{j}X_{j})\right)_{i,j=1\dots k}}}={\sqrt {\det(X_{i}\cdot X_{j})_{i,j=1\dots k}}}\;\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}\,\cdots \,\mathrm {d} u_{k}}