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電荷保存則（でんかほぞんそく）とは、電荷の総量は永遠に変わらないという法則である。 電荷が化学反応から原子核反応、粒子の崩壊や対生成・対消滅に至るまで、現在確認されている全ての反応で保存しており、今までに反例が見つかっていないと言う経験的事実から導き出された法則である。

とはいえ、電荷保存則はゲージ変換対称性の現れであり、ひいては光子の質量が 0 である根拠となっている（例えば、もし電荷保存則が成り立たないことがあれば特殊相対論などの現代物理学は根本的な見直しを迫られる。無論、電荷保存則の確認は技術の進歩に伴い、常に確認が繰り返されている）。

ゆえに、エネルギー保存則などと共に自然界の基本法則であると考えられている。

この法則を連続の方程式の形で表すと、

∂ ρ ( r , t ) ∂ t + ∇ ⋅ j ( r , t ) = 0 {\displaystyle {\frac {\partial \rho ({\boldsymbol {r}},t)}{\partial t}}+\nabla \cdot {\boldsymbol {j}}({\boldsymbol {r}},t)=0}

ここで ρ は電荷密度、j は電流密度

この法則はマクスウェルの方程式から導き出せる。
連続の方程式の導出

微視的な電荷密度及び電流密度は何らかの粒子の集合である。具体的には電子、陽子、イオンなどである。

電荷 qi の粒子が位置 ri にあり速度 vi で運動していたとき、

ρ ( r , t ) = ∑ i q i δ 3 ( r − r i ( t ) ) {\displaystyle \rho ({\boldsymbol {r}},t)=\sum _{i}q_{i}\delta ^{3}({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{i}(t))}


j ( r , t ) = ∑ i q i v i ( t ) δ 3 ( r − r i ( t ) ) {\displaystyle {\boldsymbol {j}}({\boldsymbol {r}},t)=\sum _{i}q_{i}{\boldsymbol {v}}_{i}(t)\delta ^{3}({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{i}(t))}

と表される。ここで δ 3 ( r − r i ) {\displaystyle \delta ^{3}({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{i})} は、ディラックのデルタ関数を三次元に拡張したもので、r = ( x , y , z )、ri = ( xi , yi , zi )に対し、

δ 3 ( r − r i ) = δ ( x − x i ) δ ( y − y i ) δ ( z − z i ) {\displaystyle \delta ^{3}({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{i})=\delta (x-x_{i})\delta (y-y_{i})\delta (z-z_{i})}

である。

電荷 qi が時間的に変化しないとすれば、(ここで電荷の保存と言う条件を使っている。あくまで連続の方程式を導出しているだけで、電荷保存則を証明している訳ではない。)

∂ ρ ∂ t = ∑ i q i ∂ ∂ t δ 3 ( r − r i ( t ) ) {\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=\sum _{i}q_{i}{\frac {\partial }{\partial t}}\delta ^{3}({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{i}(t))} = − ∑ i q i v i ( t ) ⋅ ∇ δ 3 ( r − r i ( t ) ) {\displaystyle =-\sum _{i}q_{i}{\boldsymbol {v}}_{i}(t)\cdot \nabla \delta ^{3}({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{i}(t))} = − ∇ ⋅ j ( r , t ) {\displaystyle =-\nabla \cdot {\boldsymbol {j}}({\boldsymbol {r}},t)}

従って、

∂ ρ ( r , t ) ∂ t + ∇ ⋅ j ( r , t ) = 0 {\displaystyle {\frac {\partial \rho ({\boldsymbol {r}},t)}{\partial t}}+\nabla \cdot {\boldsymbol {j}}({\boldsymbol {r}},t)=0}

が成り立つ。
関連語句

保存則

連続の方程式

マクスウェルの方程式

電磁場

電荷・電流密度


更新日時:2013年7月12日(金)00:25
取得日時:2016/07/08 21:14