この項目では、複素解析函数の複素零点について説明しています。（代数）多様体については「零点集合」を、初等的扱いについては「関数の零点」をご覧ください。
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複素解析における正則函数 f の零点（れいてん、ゼロてん、英: zero）は函数が非自明でない限り孤立する。零点が孤立することは、一致の定理あるいは解析接続の一意性の成立において重要である。

孤立零点には重複度 (order of multiplicity) が定まる。代数学における類似の概念として非零多項式の根の重複度（あるいは重根）が定義されるが、多項式函数はその不定元を複素変数と見れば整函数を定めるから、これはその一般化である。
零点が孤立すること

以下、U はガウス平面 ? の開集合、f: U → ? は正則で、U の元 a は f の零点 (f(a) = 0) とする。このとき函数 f は、適当な半径 r の開円板 D(a; r) ⊂ U において、整級数 f ( z ) = ∑ k = 1 ∞ α k ( z − a ) k ( ∀ z ∈ D ( a ; r ) ) {\displaystyle f(z)=\sum _{k=1}^{\infty }\alpha _{k}(z-a)^{k}\quad (\forall z\in D(a;r))}

に展開することができる。ここで定数項は α0 = f(a) = 0 だから、添字は 1 から始まっていることに注意。また各項の係数は αk = .mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .frac .num,.mw-parser-output .frac .den{font-size:80%;line-height:0;vertical-align:super}.mw-parser-output .frac .den{vertical-align:sub}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}f(k)(a)⁄k! で与えられる。
定義 (孤立零点)
複素函数 f の零点 a が孤立するとは、それが f の零点集合の孤立点となる（すなわち、a を中心とする十分小さな円板をとれば、その中に含まれる f の零点が a のみであるようにすることができる）ときに言う。

上記の級数展開において、以下の二者択一が考えられる:
任意の整数 k > 0 に対して αk = 0、すなわち f は D(a; r) 上恒等的に消えている。この場合、零点 a は孤立しない。

さもなくば、零でない係数を持つ最小の項の添字、すなわち αn ≠ 0 かつ αk = 0 (k < n) を満たす n > 1 が存在して、上記の級数を f ( z ) = ∑ k = n ∞ α k ( z − a ) k = ( z − a ) n g ( z ) , ( g ( z ) = ∑ ℓ = 0 ∞ α ℓ + n ( z − a ) ℓ ) {\displaystyle f(z)=\sum _{k=n}^{\infty }\alpha _{k}(z-a)^{k}=(z-a)^{n}g(z),\quad (g(z)=\sum _{\ell =0}^{\infty }\alpha _{\ell +n}(z-a)^{\ell })}

の形に書くことができる。ここに、函数 g は g(a) = αn ≠ 0 を満たす解析函数となる。g の a における連続性により、適当な実数 r (0 < r1 < r) が存在して、開円板 D(a; r1) 上で g が消えないようにすることができるから、まとめると f ( z ) = ( z − a ) n g ( z ) , g ( z ) ≠ 0 ( ∀ z ∈ D ( a ; r 1 ) ) {\displaystyle f(z)=(z-a)^{n}g(z),\quad g(z)\neq 0\quad (\forall z\in D(a;r_{1}))} となり、f は D(a; r1) 上 a のみで消える。すなわち、a は孤立零点である。

以上のことを、以下の定義および定理にまとめることができる。
定義 (零点の重複度)
正則函数 f の孤立零点 a の重複度が n であるとは、自然数 n が、任意の自然数 k < n に対して f(k)(a) = 0 かつ f(n)(a) ≠ 0 を満たすときに言う。このとき a は n-位の零点[1]であるという。また、n = 1 のときは a を単純零点 (simple zero) とも呼ぶ。a が f の n-位の孤立零点であるための必要十分条件は、U に含まれる適当な開円板 D(a; r) 上で定義された正則函数 g が存在して、f(z) = (z − a)ng(z) (∀z ∈ D(a; r)) かつ g(a) ≠ 0 が満たされることである。
定理 (孤立零点の原理)
f の零点 a が孤立しないならば、U に属する適当な円板 D(a; r) 上で f は恒等的に消えている。
例

a を複素数とし、複素函数 f を f : C → C ; z ↦ exp ⁡ ( z ) − exp ⁡ ( a ) − ( z − a ) exp ⁡ ( a ) {\displaystyle f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} ;\;z\mapsto \exp(z)-\exp(a)-(z-a)\exp(a)}