数学における零写像（れいしゃぞう、ゼロしゃぞう、英: zero mapping）は、零元を持つ適当な代数系[注釈 1]への写像であって、その定義域の全ての元を終域の零元へ写すものを言う。殊に、解析学における零函数 (zero function) は、変数の値によらず函数値が常に零となるような函数を言う。また、線型代数学におけるベクトル空間の間の零（線型）写像 (zero map) または零（線型）作用素 (zero operator) は、全てのベクトルを零ベクトルに写す。

零写像は多くの性質を満足し、数学において例や反例としてしばしば用いられる。零写像は斉次線型微分方程式や積分方程式などの数学の一連の問題において、自明な解（ドイツ語版）になる。
実零函数
定義

実解析における実零函数は、実函数 φ: R → R であって、すべての引数に 0 を割り当てるもの、すなわち φ ( x ) = 0 ( ∀ x ∈ R ) {\displaystyle \varphi (x)=0\quad (\forall x\in \mathbb {R} )} を満足するものを言う。恒等式の記法を用いれば、零函数であることを「φ ≡ 0」とも書ける。

零函数のグラフは x-軸全体に一致する。場合によっては零函数の定義域を部分集合 Ω ⊂ R に制限することもある。
性質
分類

零函数は以下のような函数のクラスの特別の場合になっている:

定数函数 f(x) = c の、定数 c = 0 となる特別の場合。

一次函数 f(x) = mx + b の、傾き m = 0 かつ截片 b = 0 となる特別の場合。

多項式函数 f(x) = anxn + ? + a1x + a0 の全ての係数が ai = 0（すなわち零多項式）である場合。零多項式の次数はふつう、0 ではなく −∞ と定義される。

対称性

零函数は偶かつ奇函数、すなわち ϕ ( x ) = ϕ ( − x ) = − ϕ ( x ) {\textstyle \phi (x)=\phi (-x)=-\phi (x)} が成り立つ。

零函数は正値函数でも負値函数でもない[注釈 2]。が、非正値かつ非負値（すなわち ϕ ( x ) ≤ 0 ∧ ϕ ( x ) ≥ 0 {\textstyle \phi (x)\leq 0\wedge \phi (x)\geq 0} ）である。

零函数の零点全体の成す集合は定義域全体に一致し、非零点集合（ドイツ語版）（集合論の意味での台）は空集合である。零函数の最大値および最小値はともに零: max x ∈ R ϕ ( x ) = min x ∈ R ϕ ( x ) = 0 {\displaystyle \max _{x\in \mathbb {R} }\phi (x)=\min _{x\in \mathbb {R} }\phi (x)=0} である。

零函数は、すべての定数函数がそうであるように、広義単調増大かつ広義単調減少（狭義ではダメ）である。

零函数は、すべての一次函数がそうであるように、凸かつ凹である。

微分

零函数は滑らかな函数、すなわち何回でも連続的微分可能であり、その各階の導函数は零函数で与えられる。すなわち φ ( n ) ( x ) = φ ( x ) ≡ 0 ( ∀ n ∈ N ) {\displaystyle \varphi ^{(n)}(x)=\varphi (x)\equiv 0\quad (\forall n\in \mathbb {N} )} が成り立つ。指数函数を除けば、このような性質を持つ函数は零函数に限る。

零函数自体は、定数函数の導函数として、あるいは一般に n-次多項式函数の (n + 1)-階導函数として得ることができる。
積分

零函数の定積分は、積分の限界の取り方に依らず常に零である。すなわち ∫ a b ϕ ( x ) d x = 0 ( ∀ a , b ∈ R ¯ = R ∪ { − ∞ , ∞ } ) {\displaystyle \int _{a}^{b}\phi (x)\,dx=0\quad (\forall a,b\in {\bar {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,\infty \})} が成り立つ。

したがって、零函数は実数直線全体で可積分な唯一の多項式函数である。零函数の原始函数は、不定積分の積分定数は任意にとれるから、零函数自身も含めた任意の定数函数によって与えられる。
方程式の解

零函数はコーシーの四つの函数方程式: f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) f ( x + y ) = f ( x ) ⋅ f ( y ) f ( x ⋅ y ) = f ( x ) + f ( y ) f ( x ⋅ y ) = f ( x ) ⋅ f ( y ) {\displaystyle {\begin{aligned}f(x+y)&=f(x)+f(y)\\f(x+y)&=f(x)\cdot f(y)\\f(x\cdot y)&=f(x)+f(y)\\f(x\cdot y)&=f(x)\cdot f(y)\end{aligned}}} の自明な解である。