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離散フーリエ変換（りさんフーリエへんかん、英語: discrete Fourier transform、DFT）とは次式で定義される変換で、フーリエ変換に類似したものであり、信号処理などで離散化されたデジタル信号の周波数解析などによく使われる。また偏微分方程式や畳み込み積分の数値計算を効率的に行うためにも使われる。離散フーリエ変換は（計算機上で）高速フーリエ変換(FFT)を使って高速に計算することができる。

離散フーリエ変換とは、複素関数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} を複素関数 F ( t ) {\displaystyle F(t)} に写す写像であって、次の式で定義されるものを言う。 F ( k ) = ∑ n = 0 N − 1 f ( x ) exp ⁡ ( − i 2 π k x n x N − x 0 ) {\displaystyle F(k)=\sum _{n=0}^{N-1}f(x)\exp \left(-i{\frac {2\pi kx_{n}}{x_{N}-x_{0}}}\right)}

ここで、 k は波数、N は標本数、 e {\displaystyle e} はネイピア数、 i {\displaystyle i} は虚数単位 ( i 2 = − 1 {\displaystyle i^{2}=-1} )[注 1]で、 π {\displaystyle \pi } は円周率である。標本番号 n = { 0 , … , N − 1 } {\displaystyle n=\{0,\dots ,N-1\}} に対応する x n {\displaystyle x_{n}} を標本点という。

また、この変換を F N {\displaystyle {\mathcal {F}}_{N}} という記号で表し、

F = F N ( f ) {\displaystyle F={\mathcal {F}}_{N}(f)}

のように略記することがある。

この逆変換にあたる逆離散フーリエ変換（英語: inverse discrete Fourier transform、IDFT）は f ( x ) = 1 N ∑ k = 0 N − 1 F ( k ) exp ⁡ ( i 2 π k x N ) {\displaystyle f(x)={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}F(k)\exp \left(i{\frac {2\pi kx}{N}}\right)}

正規化係数（DFT は 1, IDFT は 1/N）や指数の符号は単なる慣習的なものであり、上式とは異なる式を扱うことがある。DFT と IDFT の差について、それぞれの正規化係数を掛けると 1 / N になることと、指数の符号が異符号であるということがだけが重要であり、根本的には同一の変換作用素と考えられる。DFT と IDFT の正規化係数を両方とも 1 / N {\displaystyle 1/{\sqrt {N}}} にすると、両方ともユニタリ作用素（ユニタリ変換）になる。理論的にはユニタリ作用素にするのが好ましいが、実用上数値計算を行うときは上式のように正規化係数を1つにまとめて、スケーリングを一度に行うことが多い。
性質

離散フーリエ変換はフーリエ変換に類似した変換であるので、フーリエ変換と類似した性質を持つ。
完全性

離散フーリエ変換においては、有限個の標本点しか使わないため、ある関数を離散フーリエ変換し、それを逆変換した場合に、標本点以外で元の関数と一致するとは限らない。

すなわち、複素関数ｆに対して、 F ( t ) = ∑ x = 0 N − 1 f ( x ) exp ⁡ ( − i 2 π t x N ) {\displaystyle F(t)=\sum _{x=0}^{N-1}f(x)\exp \left(-i{\frac {2\pi tx}{N}}\right)}

により離散フーリエ変換を行い、それを逆変換したものをgとすると f ( x ) = g ( x ) x = 0 , … , N − 1 {\displaystyle f(x)=g(x)\quad x=0,\dots ,N-1}

は言えるが、その他の点で f ( x ) = g ( x ) {\displaystyle f(x)=g(x)} が言えるとは限らない。これを高周波の問題、あるいはエイリアシング(aliasing)という。
選点直交性