階乗 - 暇つぶしWikipedia

階乗

数学において自然数 n の階乗（かいじょう、英: factorial）n ! とは、1 から n までの全ての整数の積のことである [1]。例えば、 6 ! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720 {\displaystyle 6!=6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1=720}

である。空積の規約の下 0! = 1 と定義する [2]。

階乗は数学の様々な場面に出現するが、特に組合せ論、代数学、解析学などが著しい。階乗の最も基本的な出自は n 個の相異なる対象を1列に並べる方法（対象の置換）の総数が n! 通りであるという事実である。

階乗数オンライン整数列大辞典の数列 A0001420!1
1!1
2!2
3!6
4!24
5!120
6!720
7!5040
8!40320
9!362880
10!3628800
11!39916800
12!479001600
13!6227020800
14!87178291200
15!1307674368000
16!20922789888000
17!355687428096000
18!6402373705728000
19!121645100408832000
20!2432902008176640000
21!51090942171709440000
22!1124000727777607680000
23!25852016738884976640000

階乗の定義は、最も重要な性質を残したまま、非整数を引数とする函数に拡張することができる。そうすれば解析学における著しい手法などの進んだ数学を利用できるようになる。
定義

いくつか同値な条件により定義することが可能である。

n ! = ∏ k = 1 n k = n × ( n − 1 ) × ⋯ × 3 × 2 × 1 {\displaystyle n!=\textstyle \prod \limits _{k=1}^{n}k=n\times \left(n-1\right)\times \cdots \times 3\times 2\times 1}

再帰的な定義 n ! = { 1 , ( n = 0 ) n × ( n − 1 ) ! ( n > 0 ) {\displaystyle n!={\begin{cases}1,&(n=0)\\n\times \left(n-1\right)!&(n>0)\end{cases}}}

微分に関する「冪の法則（英語版）」を用いた定義 n ! = d n d x n x n ( n ≥ 0 ) {\displaystyle n!={\frac {d^{n}}{dx^{n}}}x^{n}\quad (n\geq 0)}

n! = ( n 元集合の置換の総数 )

上記の何れの定義においても、 0 ! = 1 {\displaystyle 0!=1}

となることが織り込み済みである（最初の定義では「 0 項の積は 1 と定める」という規約によって）[注釈 1]。このように定義する理由は:
零個の対象の置換は（「何もしない」という）ちょうど一通りであること。

n > 0 のとき有効な漸化式 (n + 1)! = n! × (n + 1), が n = 0 の場合にも延長できること。

指数函数などの冪級数としての表示 e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! {\displaystyle e^{x}=\textstyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {x^{n}}{n!}}} など多くの公式が短く表せるようになること。

組合せ論における多くの等式が任意のサイズに適用して意味を持つこと。例えば零個の元を空集合から選ぶ方法の総数は ( 0 0 ) = 0 ! 0 ! 0 ! = 1 {\displaystyle {\binom {0}{0}}={\frac {0!}{0!\,0!}}=1} であり、一般に n 元集合から n 個全ての元を選び出す方法の総数は ( n n ) = n ! n ! 0 ! = 1 {\displaystyle {\binom {n}{n}}={\frac {n!}{n!\,0!}}=1} と書ける。

など様々に挙げることができる。

より進んだ数学においては、引数が非整数の場合にも階乗函数を定義することができる（後述）。そういった一般化された定義のもとでの階乗は関数電卓や、Maple や Mathematica などの数学ソフトウェアで利用できる。
プログラミング言語における階乗

多くのプログラミング言語において、再帰的な定義を利用し、プロシージャの再帰呼び出しを用いた階乗の実装が可能である。

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出典検索?: "階乗" ? ニュース・書籍・スカラー・ CiNii ・ J-STAGE ・ NDL ・ dlib.jp ・ジャパンサーチ・ TWL（2013年5月）

階乗を含む公式は数学の多くの分野に現れるが、階乗のおおもとの出自は組合せ論にある。相異なる n 個の対象の順列（k-順列）の総数は n! 通りである。

階乗はしばしば「順番を無視する」という事実を反映するものとして分母に現れる。古典的な例としては n 個の元から k 個の元を選ぶ組合せ（k-組合せ）の総数が挙げられる。このような組合せは順列から得ることができる。実際、k-順列の総数 n k _ = n ( n − 1 ) ( n − 2 ) ⋯ ( n − k + 1 ) {\displaystyle n^{\underline {k}}=n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}

において、順番のみが違う（k-組合せでは違いが無視される）k-順列が k ! 通りずつ存在するから、k-組合せの総数は n k _ k ! = n ( n − 1 ) ( n − 2 ) ⋯ ( n − k + 1 ) k ( k − 1 ) ( k − 2 ) ⋯ 1 {\displaystyle {\frac {n^{\underline {k}}}{k!}}={\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots 1}}}

となる。この数は、二項冪 (1 + X)n における Xk の係数となることから、二項係数 ( n k ) {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}} とも呼ばれる。

代数学に現れる階乗にはいくつも理由があるが、既述の如く二項展開の係数として現れたり、ある種の演算の対称化（英語版）において置換による平均化を行うなど、組合せ論的な理由で現れるものもある。

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