数学、とくに離散数学の各分野における階乗冪（かいじょうべき、英: factorial power[1]) は、冪乗によく似た演算だが、階乗のように因子が 1 ずつずれていく。階乗冪には下降階乗冪 (falling factorial) [* 1]と上昇階乗冪 (rising factorial) [* 2]とがある。また、両方向へずらしながら積をとる類似の概念に、中心階乗冪 (central factorial) がある[2]。

階乗冪は冪あるいは冪函数の類似であり、特殊函数論あるいは組合せ論に広く応用を持つ。
定義

以下、x は必ずしも自然数でない実または複素数数値の変数（あるいはより一般の環の元でもよい）とし、n は自然数とする。
上昇階乗冪
x を底とする上昇 n-乗とは x ( x + 1 ) ( x + 2 ) ⋯ ( x + n − 1 ) = ∏ k = 1 n ( x + k − 1 ) {\displaystyle x(x+1)(x+2)\dotsb (x+n-1)=\prod _{k=1}^{n}(x+k-1)} なる n-項の積を言う。
下降階乗冪
x を底とする下降 n-乗とは x ( x − 1 ) ( x − 2 ) ⋯ ( x − n + 1 ) = ∏ k = 1 n ( x − k + 1 ) {\displaystyle x(x-1)(x-2)\dotsb (x-n+1)=\prod _{k=1}^{n}(x-k+1)} なる n-項の積を言う。

これらは何れも、底 x を変数と見れば x を不定元とする整数係数多項式となることに注意する。展開の係数はスターリング数で与えられる（後述）。またこれら底 x を変数とする階乗冪は様々な意味で冪函数に相当する。
記法について

特殊函数論でしばしば用いられるポッホハマー記号[* 3]は、下降階乗冪を (x)n で、上昇階乗冪を x(n) あるいは (x)(n) で表す[3]。また、(x)±
n と書くこともある[* 4]。

Graham, Knuth & Patashnik (1988) による、組合せ論でしばしば用いられる記号法では xn が下降階乗冪、xn が上昇階乗冪を表す。

組合せ論における k-順列の総数 nPk = P(n, k) は下降階乗冪（n の下降 k-乗）である。
( x ) n = ( x ) n − = x n _ = ∏ k = 1 n ( x − k + 1 ) , {\displaystyle (x)_{n}=(x)_{n}^{-}=x^{\underline {n}}=\prod _{k=1}^{n}(x-k+1),} ( x ) ( n ) = ( x ) n + = x n ¯ = ∏ k = 1 n ( x + k − 1 ) . {\displaystyle (x)^{(n)}=(x)_{n}^{+}=x^{\overline {n}}=\prod _{k=1}^{n}(x+k-1).}

また、自然数 n, k に対して ( n ) k = n k _ = n P k = n ! ( n − k ) ! , {\displaystyle (n)_{k}=n^{\underline {k}}={}_{n}P_{k}={\frac {n!}{(n-k)!}},} n ( k ) = n k ¯ = ( n + k − 1 ) ! ( n − 1 ) ! {\displaystyle n^{(k)}=n^{\overline {k}}={\frac {(n+k-1)!}{(n-1)!}}}

と書くことができる。ここで感嘆符 "!" は階乗を表す。
実または複素「冪」

x および x + n が負の整数でないとき、階乗の代わりにその補間函数であるガンマ函数を用いれば階乗冪の指数 n は任意の実数（あるいは複素数）とすることができる。具体的には次のようになる[* 5][* 6]。

x n _ = Γ ( x + 1 ) Γ ( x − n + 1 ) = ( − 1 ) n Γ ( − x + n ) Γ ( − x ) {\displaystyle x^{\underline {n}}={\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x-n+1)}}=(-1)^{n}\,{\frac {\Gamma (-x+n)}{\Gamma (-x)}}}

x n ¯ = Γ ( x + n ) Γ ( x ) = ( − 1 ) n Γ ( − x + 1 ) Γ ( − x − n + 1 ) {\displaystyle x^{\overline {n}}={\frac {\Gamma (x+n)}{\Gamma (x)}}=(-1)^{n}\,{\frac {\Gamma (-x+1)}{\Gamma (-x-n+1)}}}

特に上記二式の右辺の式は x が負の整数の場合に特に有効[* 7]である。

ふたつの実数 a および x について、a と a + x が負の整数でないとき、定数 a を底とし、指数 x を変数とする階乗冪 (a)±
x は（階乗冪を冪の類似と見做すならば）指数函数の類似である[* 8]。
組合せ論的解釈

n, k は自然数とする。n-元の集合から k-部分集合を選び出す k-順列の総数は下降階乗冪 xk である。同じく k-組合せの総数は二項係数であったから ( n k ) = n k _ k ! {\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n^{\underline {k}}}{k!}}}

なる関係式を得る。これは ( n + k − 1 k ) = n k ¯ k ! {\displaystyle {\binom {n+k-1}{k}}={\frac {n^{\overline {k}}}{k!}}}

とも書ける。
性質
計算規則

空積の規約により x 0 _ = x 0 ¯ = 1 {\displaystyle x^{\underline {0}}=x^{\overline {0}}=1}

と定める。ただし、x が 0 の場合には 0 の 0-乗（これもまた空積である）の扱いに準じる（定義しないとするか、しばしば 1 と定める）。

下降階乗冪と上昇階乗冪の間に関係 x n _ = ( − 1 ) n ( − x ) n ¯ , {\displaystyle x^{\underline {n}}=(-1)^{n}(-x)^{\overline {n}},} x n ¯ = ( − 1 ) n ( − x ) n _ {\displaystyle x^{\overline {n}}=(-1)^{n}(-x)^{\underline {n}}}

が成り立つ。
多項式基底と変換係数詳細は「二項係数」および「スターリング数」を参照

上昇階乗冪 xn (n = 1, 2, 3, …) および下降階乗冪xn (n = 1, 2, 3, …) はそれぞれ、x を変数とする多項式とみるとき多項式環の基底になる。標準基底 xn (n = 1, 2, 3, …) との基底変換は以下のように与えられる: x n _ = ∑ k = 0 n ( − 1 ) n + k [ n k ] x k , {\displaystyle x^{\underline {n}}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n+k}\left[{n \atop k}\right]\,x^{k},} x n = ∑ k = 0 n { n k } x k _ . {\displaystyle x^{n}=\sum _{k=0}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}\,x^{\underline {k}}.}