一般の集合の間の関数については「写像」をご覧ください。
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函数
x ? f (x)
始域と終域の例

X→ B,B→X, Bn→B
X→ Z,Z→X
X→ R,R→X, Rn→X
X→ C,C→X, Cn→X

?分類/性質?


定数 · 恒等 · 線型 · 多項式 · 有理 · 代数的

 · 解析的 · 滑らか · 連続 · 可測

 · 単射的 · 全射的 · 双射的

?構成??
制限 · 合成 · λ式 · 逆
?一般化??
部分 · 多価 · 陰伏
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表

話

編

歴

数学における関数（かんすう、英: function、仏: fonction、独: Funktion、 蘭: functie、羅: functio、函数とも書かれる）とは、かつてはある変数に依存して決まる値あるいはその対応を表す式のことであった。この言葉はゴットフリート・ライプニッツによって導入された。その後定義が一般化され、現代では数の集合に値をとる写像の一種であると理解されるものとなった。
名称表記の歴史

日本語としての関数はもともと「函数」（.mw-parser-output .lang-ja-serif{font-family:YuMincho,"Yu Mincho","ヒラギノ明朝","Noto Serif JP","Noto Sans CJK JP",serif}.mw-parser-output .lang-ja-sans{font-family:YuGothic,"Yu Gothic","ヒラギノ角ゴ","Noto Sans CJK JP",sans-serif}旧字体：函數）と書いた。函数という語は中国語から輸入されたものであり、中国での初出は1859年に出版された李善蘭の『代微積拾級』といわれる。既にオランダを通じて西洋数学（特に微積分）を勉強していた神田孝平らが翻訳の際に参考にしたとされる[1][2]。

微積分について日本語で書かれた最初の本、花井静校・福田半編『筆算微積入門』(1880年) では「函数」が用いられている[3][4]。それに続く長澤龜之助訳『微分学』(1881年)、岡本則録訳『査氏微分積分学』(1883年) のいずれも用語を『代微積拾級』、『微積遡源』(1874年) などによっている[4]。明治初期に東京數學會社で数学用語の日本語訳を検討する譯語會が毎月開催され、その結果が『東京數學會社雑誌』で逐次報告されている。この報告に function の訳語は第62号 (1884年) の「原數」[5]と第64号 (1884年) の「三角法函數」[6]の二種類が登場する。一方、同誌の本文では61号 (1884年) や63号 (1884年) で「函數」が用いられている[7]。

「函」が漢字制限による当用漢字に含まれなかったことから、1950年代以降同音の「関」へと書き換えがすすめられた[8]。この他、「干数」案もあった[9]。学習指導要領に「関数」が登場するのは中学校で1958年、高等学校で1960年であり、それまでは「函数」が用いられている[注釈 1]。「関数」表記は 1985 年頃までには日本の初等教育の段階でほぼ定着した[10]。

「函数」の中国語における発音は(.mw-parser-output .pinyin{font-family:system-ui,"Helvetica Neue","Helvetica","Arial","Arial Unicode MS",sans-serif}.mw-parser-output .jyutping{font-family:"Helvetica Neue","Helvetica","Arial","Arial Unicode MS",sans-serif}?音: hánshù) であり、志賀浩二や小松勇作によればこれはfunctionの音訳であるという[10][11]。一方、『代微積拾級』には「凡此變數中函彼變數則此爲彼之函數」[12]とあり、これは変数を包む、含む式という意味で定義されていると解釈できる[2]。また変数に天、地などの文字を用いて「天 = 函(地)」という表記もある。