開平法 - 暇つぶしWikipedia

開平法

この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方）
出典検索?: "開平法" ? ニュース・書籍・スカラー・ CiNii ・ J-STAGE ・ NDL ・ dlib.jp ・ジャパンサーチ・ TWL（2016年7月）

開平法（かいへいほう、英: extraction of square root）とは、正の数の平方根の小数表示を求めていくアルゴリズムである。開平や開平算、開平計算とも。平方根を求めることを開平するという。開法の一種。
開平法の原理

与えられた正の数の正の平方根の小数表示を求めるために、ここではまず漸化式を立てて、一般的な求値法を求める。そして、求値の明確化のために、開平法と呼ばれる筆算の原理を導出する。以下は十進法表示の場合だが、他の位取り記数法でも同様な計算で求められる。ここで述べるのと基本的には同じ方法で、立方根を求める開立法や、もっと一般に n 乗根を求めることも可能である。手続きを簡略化した筆算による方法については「#筆算による求値」を参照
 問題の定式化

与えられた √x (x > 0) に対し、10k の位 ak (k ? n) を求める： x = ∑ k ≤ n 10 k a k = 10 n a n + 10 n − 1 a n − 1 + ⋯ + 10 2 a 2 + 10 a 1 + a 0 + 10 − 1 a − 1 + 10 − 2 a − 2 + ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {x}}&=\textstyle \sum \limits _{k\leq n}10^{k}a_{k}\\&=10^{n}a_{n}+10^{n-1}a_{n-1}+\cdots +10^{2}a_{2}+10a_{1}+a_{0}+10^{-1}a_{-1}+10^{-2}a_{-2}+\cdots \end{aligned}}}

x の首位を an とする。つまり、n は √x < 10k+1 を満たす最小の k とする。また便宜上 ak = 0 (k > n) とする。

√x の 10m の位より上（かみ）の位 pm は分かっているとし、10m の位 am を求めるとする。すなわち p m = ∑ k = m + 1 n 10 k − m − 1 a k = 10 n − m − 1 a n + 10 n − m − 2 a n − 1 + ⋯ + 10 a m + 2 + a m + 1 {\displaystyle p_{m}=\textstyle \sum \limits _{k=m+1}^{n}10^{k-m-1}a_{k}=10^{n-m-1}a_{n}+10^{n-m-2}a_{n-1}+\cdots +10a_{m+2}+a_{m+1}}

とおく。正方形ABCD の面積は 10−2mx, 青い正方形の面積は 100pm2 で、橙色と桃色の部分の面積の和が (20pm + am)am = rm である。pm の値はすでに決まっていて、am をどこまで大きく取れるのかが問題である。

am は 10m+1pm + 10mam ? √xを満たす最大の am、すなわち(20pm + am)am ? 10−2mx − 100pm2 … (1)

を満たす最大の am である。これを見つける。am の値は 0 から 9 までの 10 通りなので、順に試していけば am は求まる。m = n のとき、pn = 0 よりan2 ? 10−2nxm < n のとき、20pmam ? (20pm + am)am ? 10−2mx − 100pm2

pm ≠ 0 より a m ≤ 10 − 2 m x − 100 p m 2 20 p m {\displaystyle a_{m}\leq {\frac {10^{-2m}x-100{p_{m}}^{2}}{20p_{m}}}} 右辺の計算値により、am の値の見当を付けることができる。

これにより am が求まれば、pm−1 = 10pm + am

の値が分かるから、(20pm−1 + am−1)am−1 ? 10−2(m−1)x − 100pm−12

を満たす最大の am−1 を見つければよい。

このようにして、帰納的に ak (k ? n) の値が求まる。
漸化式の簡略化

不等式(1) を簡略化する。「20」を基数 10 と合わせるため 10 × 2 とする。そのためqm = 2pmym = 10−2mx − 100pm2