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出典検索?: "閉包" 位相空間論
数学において、位相空間の部分集合の閉包（へいほう、英: closure）は、その部分集合の触点（部分集合の点とそれらの集積点）を全て集めて得られる集合である。直観的には、部分集合の触点とはその部分集合の「いくらでも近く」にある点と考えられる。閉包の概念は様々な意味で開核の概念の双対になっている。 ユークリッド空間の部分集合 S に対して、点 x が S の触点（閉包点）(英語: adherent point, closure point, point of closure)であるとは、x を中心とする任意の開球体が必ず S の点を少なくとも一つ含むときにいう（x が S に属するときは、所期の点として x 自身を選んでよい）。 この定義は「ユークリッド空間」の部分を「任意の距離空間 X」に書き換えて直ちに一般化することができる。きちんと述べれば、距離 d を持つ距離空間 X に対して、X の点 x が X の部分集合 S の触点であるとは、各 r > 0 に対して S の適当な点 y を選べば d(x, y) < r とできるときにいう（やはり y = x ととり得る）。これは、式で書けば x がd(x, S) := inf{d(x, s) : s ∈ S} = 0 を満たすことに他ならない。これをさらに「開球体」の代わりに「近傍」を考えて、一般の位相空間に対するものに一般化することができる。すなわち、位相空間 X の部分集合 S に対して、X の点 x が S の触点であるとは、x の任意の近傍が必ず S の点を少なくとも一つ含むときに言う（この定義は、近傍の定義にそれが開であることを含むか否かに依らない）。 集合 S の閉包とは、S の触点全体の成す集合を言い、cl(S) や Cl(S) あるいは S や S− などで表す。集合の閉包は以下のような性質を持つ。 二番目と三番目の性質はしばしば位相的な閉包（作用素）の定義として用いられるもので、また他の種類の閉包作用に対しても意味を持つ（後述）。 （距離空間などの）第一可算空間では、cl(S) は S 内のあらゆる収斂点列の極限全体の成す集合に一致する。一般の位相空間に対しては、「点列」を「有向点族」または「フィルター」に置き換えたものが成り立つ。 双対性により、上記の性質において、「閉包」・「拡大集合」・「交叉」・「含む」・「最小」・「閉」をそれぞれ「内部」・「部分集合」・「合併」・「含まれる」・「最大の」・「開」に置き換えたものもやはり成立する。詳細は後述。 実数全体の成す集合 R に通常の位相とは異なる位相を入れる場合には、先の例とは結果が異なりうる。 これらの例から、与えられた部分集合の閉包というのが、その台となる空間のうえの位相に依存していることが諒解される。後二者の例はもっと一般に
定義
触点
集合の閉包
cl(S) は S を含む閉集合（閉拡大集合）である。
cl(S) は S を含む閉集合全ての交わりに一致する。
cl(S) は S を含む最小の閉集合である。
集合 S が閉であるための必要十分条件は S = cl(S) を満たすことである。
S が T の部分集合ならば cl(S) は cl(T) の部分集合である。
A が閉集合であるならば、A が S を含むことと A が cl(S) を含むこととは同値である。
例
X が実数全体の成す一次元ユークリッド空間 R のとき、cl((0, 1)) = [0, 1] が成り立つ。
X = R のとき、有理数全体の成す部分集合 Q の閉包は R 全体に一致する。これを以って Q は R において稠密であるという。
X をガウス平面 C = R2 とすれば cl({z ∈ C : |z| > 1}) = {z ∈ C : |z| ? 1} が成り立つ。
S がユークリッド空間の有限部分集合ならば cl(S) = S が成り立つ。一般の位相空間においてこの性質は T1-分離公理と同値である。
X = R で R に下極限位相
R の全ての部分集合が（開かつ）閉であるような位相を考えれば、cl((0, 1)) = (0, 1) が成り立つ。
R 上の位相で、空集合と R 自身のみが（開かつ）閉となるものを考えれば、cl((0, 1)) = R が成り立つ。
任意の離散空間では、任意の部分集合が（開かつ）閉であるから、任意の部分集合はその閉包に一致する。
任意の密着空間 X では、（開かつ）閉集合は空集合と X 自身のみであるから、空集合の閉包は空集合であり、空でない任意の部分集合 A に対しては cl(A) = X が成り立つ。