量子ウォーク(英: Quantum walk)は、ランダムウォークの量子版と見なされるモデルである。目次 量子ウォークには離散時間量子ウォークと連続時間量子ウォークがあるが、ここでは離散時間量子ウォークについて述べる 。 離散時間量子ウォークのプライオリティーに関しては諸説あるが、少なくともGudderによる本 (1988)[1]の中に、既に現れている 。他にもAharonov et al. (1993)[2]、Meyer (1996)[3]などにより、量子情報、量子セルオートマトンの視点でそれぞれ独立に導入されている 。また、Watrous (2001)[4]では、一般のグラフ上での量子ウォークの原型にあたるものを見ることができる 。さらに、Severini (2002)[5]には、より詳細で数学的な量子ウォークの構成が述べられている 。
1 概要
2 一次元格子上の量子ウォーク
2.1 全空間
2.2 時間発展
2.3 分布
3 量子ウォークの重要な性質
3.1 線型的拡がり
3.2 局在化
3.2.1 一段階目
3.2.2 二段階目
4 参考文献
5 参考リンク
概要
現在では、グラフの同型問題[10]、単位円周上の固有値解析[11]、ランダムウォークとの統計的性質の比較[12]、アンダーソン局在[13][14]等が量子ウォークに関連付けられて盛んに議論されている 。さらに光格子[15]、イオントラップ[16]、光子[17][18]などを用いて、量子ウォークを実験室で実現できることが、幾つかの研究グループによって報告されている 。より詳細な量子情報の観点からのレビューとしてVenegas-Andraca (2008)[19]、(2012)[20]が挙げられる 。また、日本語の解説書として今野(2008)[21]、(2014)[22]、町田(2018)[23]、図解本として町田(2015)[24]がある。 ここでは、Gudder (1988)[1]とMeyer (1996)[3]に基づく一次元格子上の離散時間量子ウォークの定義を与える 。 一般のグラフに関する情報は、例えばAmbainis (2004)[9]やその参考文献を辿ることで得られる 。説明の便宜上、Gudderが導入したモデルの修正版を導入するが、どれも本質的に等価である 。より詳細についてはKonno (2008)[12]等を参照されたい 。 量子ウォークは、以下の全空間 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 、その空間上の時間発展作用素 U {\displaystyle U} 、これらから決まる分布列 { μ n } n = 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle \{\mu _{n}\}_{n=0,1,2,\ldots }} の3つから成り立っている 。但し、 n {\displaystyle n} は時刻を表す 。 量子ウォークの全空間は H = H P ⊗ H C {\displaystyle {\mathcal {H}}={\mathcal {H}}_{P}\otimes {\mathcal {H}}_{C}} で定義される 。但し、 H P = S p a n { 。 x ⟩ ; x ∈ Z } {\displaystyle {\mathcal {H}}_{P}=\mathrm {Span} \{|x\rangle ;x\in \mathbb {Z} \}} は粒子の場所を、 H C = S p a n { 。 J ⟩ ; J ∈ { L , R } } {\displaystyle {\mathcal {H}}_{C}=\mathrm {Span} \{|J\rangle ;J\in \{L,R\}\}} は粒子の自由度をそれぞれ表すヒルベルト空間である 。非自明な時間発展を与えるユニタリ作用素を定義するために、粒子の場所を記述する空間 H P {\displaystyle {\mathcal {H}}_{P}} に2次の自由度を持つ空間 H C {\displaystyle {\mathcal {H}}_{C}} が付随する[3] 。 量子ウォークの時間発展作用素は U = S C {\displaystyle U=SC} で定義される 。ここで、 C = ⨁ x ∈ Z H {\displaystyle C=\bigoplus _{x\in \mathbb {Z} }H} はコイン作用素と呼ばれる作用素である 。但し、 H {\displaystyle H} は H C {\displaystyle {\mathcal {H}}_{C}} 上のユニタリ作用素で、量子コインと呼ばれる 。また、 S {\displaystyle S} はシフト作用素と呼ばれる作用素で、 S 。 x , J ⟩ = { 。 x + 1 , R ⟩ : J = R 。 x − 1 , L ⟩ : J = L {\displaystyle S|x,J\rangle ={\begin{cases}|x+1,R\rangle &:J=R\\|x-1,L\rangle &:J=L\end{cases}}} を満たす 。但し、 。 x , J ⟩ := 。 x ⟩ ⊗ 。 J ⟩ ∈ H P ⊗ H C {\displaystyle |x,J\rangle :=|x\rangle \otimes |J\rangle \in {\mathcal {H}}_{P}\otimes {\mathcal {H}}_{C}} である 。 量子ウォークでは、初期状態 Ψ 0 ∈ H {\displaystyle \Psi _{0}\in {\mathcal {H}}} (但し、 。 。 Ψ 0 。
一次元格子上の量子ウォーク
全空間
時間発展
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出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』
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