数学における重複順列(ちょうふくじゅんれつ、英: sequence (with repetition), 仏: arrangement avec repetition)は、区別可能な n 個の対象から重複を許して k 個の対象を取り出して特定の順番でならべることで生じる。大抵の場合、これを k-組(あるいは長さ k のリスト)として表す。例えば、1 から n までの番号が振られた n 個の玉が入った箱から k 個の玉を取り出して、取り出した順番に番号をリストに記録すると重複順列を得る。 重複順列の定義の仕方は(同値なものが)いくつかある。 モールス信号は二種類の記号 "─", "●" を字母とする語(文字列)である。k を非負整数とすると、k 文字の語は集合 {─, ●} に関する k-重複順列であり、長さがちょうど k の語は 2k 種類である。
定義
定義 1
位数 n (n ∈ ??) の有限集合 E と非負整数 k が与えられたとき、E の元からなる k-重複順列(または n 個の元から重複を許して k 個選んで作られる k-項順列)とは、E の元を要素とする k-順序組(k-項の有限列)を言う。
定義 2
位数 n (n ∈ ??) の有限集合 E と非負整数 k が与えられたとき、E の元からなる k-重複順列とは、集合 {1, 2, …, k} から E への写像のことを言う。
重複順列の総数
定理
位数 n の有限集合 E と自然数 k に対して、E の元からなる k-重複順列全体の成す集合は有限であり、その位数は nk で与えられる。
証明
k-組として見れば、E の元からなる k-重複順列全体の成す集合は Ek = E × E × … × E に他ならない。故にその位数に関して |Ek| = |E|k = nk は明らか。
{1, 2, …, k} から E への写像と見れば、1 の行き先が n 通り、2 の行き先が n 通り、……、k の行き先が n 通りであるから、相異なる写像は n × n × … × n = nk 通りである。
使用例
関連項目
組合せ (数学)
重複組合せ
順列
置換 (数学)
重複置換
外部リンク
⇒Nombre de combinaisons et d’arrangements avec repetitions limitees. Par Michel Hort