本項、部分リーマン多様体の接続と曲率では、古典的なガウスの曲面論（英語版）を高次元のリーマン多様体の場合に拡張した成果を述べる。具体的にはリーマン多様体 M ¯ {\displaystyle {\bar {M}}} の部分多様体Mに対し、

M ¯ {\displaystyle {\bar {M}}} 、Mのレヴィ・チヴィタ接続やリーマン曲率の関係性

第二基本形式、第三基本形式（英語版）

主曲率、ガウス曲率、平均曲率（英語版）

Theorema Egregium

ガウス写像

ガウス・ボンネの定理

といったものを高次元化した成果を述べる。

以下、本項では ( M ¯ , g ) {\displaystyle ({\bar {M}},g)} をリーマン多様体とし、 M ⊂ M ¯ {\displaystyle M\subset {\bar {M}}}

をその部分多様体[注 1]とする。また特に断りがない限り、単に「多様体」、「写像」等といった場合はC∞級のものを考える。

Mの接続とMの接続の関係性

∇ ¯ {\displaystyle {\bar {\nabla }}} をgが定める M ¯ {\displaystyle {\bar {M}}} 上のレヴィ-チヴィタ接続とする。またリーマン計量gをMに制限することで、 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} がリーマン多様体になるので、gが定めるM上のレヴィ-チヴィタ接続 ∇ {\displaystyle \nabla } を考える事ができる。

一方、Mは M ¯ {\displaystyle {\bar {M}}} の部分多様体なので、 M ¯ {\displaystyle {\bar {M}}} のレヴィ-チヴィタ接続 ∇ ¯ {\displaystyle {\bar {\nabla }}} のMへの制限 ∇ ¯ M {\displaystyle {\bar {\nabla }}^{M}} も考える事ができる。

実はこの２つは以下の関係を満たす：

定理 ― X、YをM上のベクトル場とするとき、Mの任意の点Pに対し、以下が成立する[1]： P r P ( ∇ ¯ X M Y 。 P ) = ∇ X Y 。 P {\displaystyle \mathrm {Pr} _{P}({\bar {\nabla }}_{X}^{M}Y|_{P})=\nabla _{X}Y|_{P}}

ここで P r P {\displaystyle \mathrm {Pr} _{P}} は、 T P M ¯ {\displaystyle T_{P}{\bar {M}}} の元の接ベクトル空間TPMへの射影 P r P   :   T P M ¯ → T P M {\displaystyle \mathrm {Pr} _{P}~:~T_{P}{\bar {M}}\to T_{P}M}

である。
法接続

上では M ¯ {\displaystyle {\bar {M}}} の接続のMの接ベクトルバンドルTMへの射影を考えたが、同様に M ¯ {\displaystyle {\bar {M}}} の接続のMの法ベクトルバンドルへの射影を考える事ができる。Mの点Pに対し、 P r P N   :   T P M ¯ → N P M {\displaystyle \mathrm {Pr} _{P}^{N}~:~T_{P}{\bar {M}}\to N_{P}M}

を T P M ¯ {\displaystyle T_{P}{\bar {M}}} の元の法ベクトルバンドル N P M {\displaystyle N_{P}M} への射影とする。

定義 ― XをM上のベクトル場、ηを法ベクトルバンドル N M {\displaystyle NM} の切断とするとき、以下のように定義される N M {\displaystyle NM} の接続をMの法接続（英: normal connectionn）[2]、もしくはVan der Waerden Bortolotti接続[3]という： ∇ X ⊥ η := P r N ∇ ¯ X M η {\displaystyle \nabla _{X}^{\bot }\eta :=\mathrm {Pr} ^{N}{\bar {\nabla }}_{X}^{M}\eta }

さらにYをM上のベクトル場とするとき、 R ⊥ ( X , Y ) η := ∇ X ⊥ ∇ Y ⊥ η − ∇ Y ⊥ ∇ X ⊥ η + ∇ [ X , Y ] ⊥ η {\displaystyle R^{\bot }(X,Y)\eta :=\nabla _{X}^{\bot }\nabla _{Y}^{\bot }\eta -\nabla _{Y}^{\bot }\nabla _{X}^{\bot }\eta +\nabla _{[X,Y]}^{\bot }\eta }