選択公理(せんたくこうり、英: axiom of choice、選出公理ともいう)とは公理的集合論における公理のひとつで、どれも空でないような集合を元とする集合(すなわち、集合の集合)があったときに、それぞれの集合から一つずつ元を選び出して新しい集合を作ることができるというものである。1904年にエルンスト・ツェルメロによって初めて正確な形で述べられた[1]。 空集合を要素に持たない任意の集合族に対して、各要素(それ自体が集合である)から一つずつその要素を選び、新しい集合を作ることができる。あるいは同じことであるが、空でない集合の空でない任意の族 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} に対して写像 f : A → ⋃ A := ⋃ A ∈ A A {\displaystyle f\colon {\mathcal {A}}\to \textstyle {\bigcup }{\mathcal {A}}:=\textstyle {\bigcup _{A\in {\mathcal {A}}}}A} であって任意の x ∈ A {\displaystyle x\in {\mathcal {A}}} に対し f ( x ) ∈ x {\displaystyle f(x)\in x} なるものが存在する、と写像を用いて言い換えることが出来る(ここで存在が要求される写像 f を選択関数
定義
以下の命題は全て選択公理と同値である。つまり、以下の命題のいずれかを仮定すると選択公理を証明することができるし、逆に選択公理を仮定すると以下の命題が全て証明できる。
整列可能定理
任意の集合は整列可能である。
ツォルンの補題
順序集合において、任意の全順序部分集合が有界ならば、極大元が存在する。(実際の数学では、この形で選択公理が使われることも多い。)
テューキーの補題
有限性
選択公理、もしくはそれと同値な命題を適用することで、以下を示すことができる。
ハーン?バナッハの定理
ハウスドルフのパラドックス
バナッハ=タルスキーの定理
可算集合の可算個の和は可算である
任意の無限集合は可算集合を含む
ルベーグ非可測集合の存在
任意のフィルターは極大フィルターに拡大できる