選択公理(せんたくこうり、英: axiom of choice、選出公理ともいう)とは公理的集合論における公理のひとつで、どれも空でないような集合を元とする集合(すなわち、集合の集合)があったときに、それぞれの集合から一つずつ元を選び出して新しい集合を作ることができるというものである。1904年にエルンスト・ツェルメロによって初めて正確な形で述べられた[1]。 空集合を要素に持たない任意の集合族に対して、各要素(それ自体が集合である)から一つずつその要素を選び、新しい集合を作ることができる。あるいは同じことであるが、空でない集合の空でない任意の族 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} に対して写像 f : A → ⋃ A := ⋃ A ∈ A A {\displaystyle f\colon {\mathcal {A}}\to \textstyle {\bigcup }{\mathcal {A}}:=\textstyle {\bigcup _{A\in {\mathcal {A}}}}A} であって任意の x ∈ A {\displaystyle x\in {\mathcal {A}}} に対し f ( x ) ∈ x {\displaystyle f(x)\in x} なるものが存在する、と写像を用いて言い換えることが出来る(ここで存在が要求される写像 f を選択関数
定義
以下の命題は全て選択公理と同値である。つまり、以下の命題のいずれかを仮定すると選択公理を証明することができるし、逆に選択公理を仮定すると以下の命題が全て証明できる。
整列可能定理
任意の集合は整列可能である。
ツォルンの補題
順序集合において、任意の全順序部分集合が有界ならば、極大元が存在する。(実際の数学では、この形で選択公理が使われることも多い。)
テューキーの補題
有限性
選択公理、もしくはそれと同値な命題を適用することで、以下を示すことができる。 集合論の創始者ゲオルク・カントールは、選択公理を自明なものとみなしていた。実際、有限個の集合からなる集合族であれば、そのそれぞれの集合の中から順に1つずつ元を選び出し、それらを併せて集合とすればよいのであるから、このような操作ができることは自明である。 しかし、ツェルメロによる整列可能定理の証明に反論する過程で、エミーユ・ボレル、ルネ=ルイ・ベール、アンリ・ルベーグ、バートランド・ラッセルなどが選択公理の存在に気付き、新たな公理であることが認識されるようになった。確かに、無限個の集合からなる集合族の場合、上のような操作を想定しても「順に選び出す」操作は有限回で終了することはないのだから、このような操作を行えるかどうかは必ずしも明らかではない。 選択公理は、それ自身もまたその否定もほかの公理からは証明できないものであること、すなわち独立であることが示された(クルト・ゲーデル、ポール・コーエン)が、これは公理的集合論における大きな成果であろう。なお、ZF(ツェルメロ=フレンケルの公理系)に一般連続体仮説を加えると選択公理を証明できる[注釈 1]。従って、一般連続体仮説と選択公理は何れもZFとは独立だが、前者の方がより強い主張であると言える。ZFに選択公理を加えた公理系をZFCと呼ぶ。 選択公理を仮定することによって導かれる、一見、奇怪で非直観的な結果の中でも、バナッハ=タルスキーのパラドックスは有名なもので、「有限個の部分に分割し、それらを回転・平行移動操作のみを使ってうまく組み替えることで、元の球と同じ半径の球を2つ作ることができる」と、初歩的な概念のみで表現することができる。ただ、ここでの「有限個の分割」は、通常イメージされる単純な分割(包丁でいくつかのパーツに切り分けるようなもの)ではなく、非常に特殊な分割であるため、「"奇怪な分割"をした結果、奇怪な結果(2つに増える)が生じた」にすぎないという側面もある。 なお、ステファン・バナフ(バナッハ)とタルスキは論文の冒頭で、「証明のなかに、この公理(選択公理)が果たす役割は、注目するに値する」と述べているだけであり、バナッハ=タルスキーのパラドックスによって選択公理が正しくないと明確に主張したわけではない。 選択公理とは矛盾するが、ZFCから選択公理を除いたZFとは矛盾しないような命題は数多く発見されている。たとえばロバート・ソロヴェイ 1964年にヤン・ミシェルスキ
ハーン?バナッハの定理
ハウスドルフのパラドックス
バナッハ=タルスキーの定理
可算集合の可算個の和は可算である
任意の無限集合は可算集合を含む
ルベーグ非可測集合の存在
任意のフィルターは極大フィルターに拡大できる
全ての体には代数的閉包が存在する。
歴史
バナッハ=タルスキーのパラドックスと選択公理
代わりとなる公理
選択公理には様々な変種が存在する。
可算選択公理詳細は「可算選択公理」を参照
選択公理よりも弱い公理として、可算選択公理(英: countable axiom of choice,denumerable axiom of choice)というものも考えられている[2]。全ての集合は可算集合を含むこと、可算集合の可算和が可算集合であることは、この公理により証明できる。
カントール、ラッセル、ボレル、ルベーグなどは、無意識のうちに可算選択公理を使ってしまっている。
従属選択公理詳細は「従属選択公理」を参照