運動量演算子とは、量子力学においてヒルベルト空間上の状態ベクトルに作用する演算子で、古典的な運動量に対応する。特に量子力学の形式の一つである波動力学において、座標表示された波動関数に作用する微分演算子と関係付けられる。

運動量演算子は量子力学が発展した1920年代に、ニールス・ボーア、アルノルト・ゾンマーフェルト、エルヴィン・シュレーディンガー、ユージン・ウィグナーなど多くの理論物理学者によって見いだされた。
概要

量子力学における物理量はヒルベルト空間上の状態ベクトルに作用する演算子として表されており、これに倣って運動量も演算子へと置き換えられる[1]。量子力学の導入においては、通常の数（c数）と演算子（q数）とを区別するためにしばしばハット記号を付して表され、運動量演算子は p ^ {\displaystyle {\hat {p}}} で表される。ハミルトン形式（正準形式）の古典力学において、運動量は正準変数として特別な役割を担っており、これを反映して量子論においても特別な役割を担っている。運動量演算子を特徴付ける基本的な性質は正準交換関係と呼ばれる関係で、位置の演算子との間に [ x ^ , p ^ ] ≡ x ^ p ^ − p ^ x ^ = i ℏ {\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]\equiv {\hat {x}}{\hat {p}}-{\hat {p}}{\hat {x}}=i\hbar }

を満たす。ここで ħ は換算プランク定数であり、i は虚数単位である。運動の自由度が2つ以上の場合はクロネッカーのデルタを用いて [ x ^ a , p ^ b ] = i ℏ δ b a {\displaystyle [{\hat {x}}^{a},{\hat {p}}_{b}]=i\hbar \delta _{b}^{a}}

となる[2]。

波動力学において運動量演算子は p ^ = − i ℏ ∂ ∂ x {\displaystyle {\hat {p}}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}}

として微分演算子と関係付けられる[3][4]。すなわち座標表示された波動関数 ψ(x,t) に対して p ^ ψ ( x , t ) = − i ℏ ∂ ψ ∂ x {\displaystyle {\hat {p}}\psi (x,t)=-i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial x}}}

と作用する。微分演算子による表示が正準交換関係を満たすことは連鎖律により確認される。すなわち位置の演算子を作用させたのち、運動量演算子を作用させると p ^ ( x ^ ψ ) = − i ℏ ∂ ( x ψ ) ∂ x = − i ℏ x ∂ ψ ∂ x − i ℏ ψ = x ^ ( p ^ ψ ) − i ℏ ψ {\displaystyle {\hat {p}}({\hat {x}}\psi )=-i\hbar {\frac {\partial (x\psi )}{\partial x}}=-i\hbar x{\frac {\partial \psi }{\partial x}}-i\hbar \psi ={\hat {x}}({\hat {p}}\psi )-i\hbar \psi }

となるので [ x ^ , p ^ ] ψ = x ^ ( p ^ ψ ) − p ^ ( x ^ ψ ) = i ℏ ψ {\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]\psi ={\hat {x}}({\hat {p}}\psi )-{\hat {p}}({\hat {x}}\psi )=i\hbar \psi }

が確認される。

量子場の理論においては、第二量子化により場が量子化されて演算子として表される。量子場 ϕ ^ ( x ) {\displaystyle {\hat {\phi }}(x)} に対する運動量演算子の作用は i ℏ [ P ^ μ , ϕ ^ ( x ) ] = ∂ μ ϕ ^ ( x ) {\displaystyle {\frac {i}{\hbar }}[{\hat {P}}_{\mu },{\hat {\phi }}(x)]=\partial _{\mu }{\hat {\phi }}(x)}

として演算子の交換子積で与えられる[5]。物理量の量子化における対応と同様に P μ ↦ − i ℏ ∂ μ {\displaystyle P_{\mu }\mapsto -i\hbar \partial _{\mu }}

で表される。
ド・ブロイ平面波からの導出

運動量演算子とエネルギー演算子は次のように構築できる[6]。
１次元

１次元から出発し、シュレーディンガー方程式に平面波解を用いる。 ψ = e i ( k x − ω t ) {\displaystyle \psi =e^{i(kx-\omega t)}}

空間についての１階偏微分は、 ∂ ψ ∂ x = i k e i ( k x − ω t ) = i k ψ {\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial x}}=ike^{i(kx-\omega t)}=ik\psi }

ド・ブロイの関係式 p = ħk より k を表すと、ψ の微分公式は次のようになる。 ∂ ψ ∂ x = i p ℏ ψ {\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial x}}=i{\frac {p}{\hbar }}\psi }

このことは演算子の等価性を示している。 p ^ = − i ℏ ∂ ∂ x {\displaystyle {\hat {p}}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}}

よって運動量 p はスカラー値で、測定される粒子の運動量は演算子の固有値である。

偏微分は線形演算子であり、運動量演算子も線形である。いかなる波動関数も他の状態の重ね合わせとして表すことができるためこの運動量演算子は重ね合わせられた波全体に作用するとき、それぞれの平面波成分に対して運動量の固有値を与え、運動量が重ね合わせられた波の全運動量に加えられる。
３次元

３次元での導出は、１階偏微分の代わりにナブラが用いられることを除いて、１次元と同じようにできる。３次元のシュレーディンガー方程式の平面波解は次のように書ける。 ψ = e i ( k ⋅ r − ω t ) {\displaystyle \psi =e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}}

また勾配は ∇ ψ = e x ∂ ψ ∂ x + e y ∂ ψ ∂ y + e z ∂ ψ ∂ z = i k x ψ e x + i k y ψ e y + i k z ψ e z = i ℏ ( p x e x + p y e y + p z e z ) ψ = i ℏ p ^ ψ {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \psi &=\mathbf {e} _{x}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}+\mathbf {e} _{y}{\frac {\partial \psi }{\partial y}}+\mathbf {e} _{z}{\frac {\partial \psi }{\partial z}}\\&=ik_{x}\psi \mathbf {e} _{x}+ik_{y}\psi \mathbf {e} _{y}+ik_{z}\psi \mathbf {e} _{z}\\&={\frac {i}{\hbar }}\left(p_{x}\mathbf {e} _{x}+p_{y}\mathbf {e} _{y}+p_{z}\mathbf {e} _{z}\right)\psi \\&={\frac {i}{\hbar }}\mathbf {\hat {p}} \psi \end{aligned}}}