運動の積分 (うんどうのせきぶん, integral of motion) とは、古典力学において、系の時間発展に際して時間変化しない物理量のこと。保存量 (conserved quantity) や恒量[1]、運動の定数 (constant of motion)、第一積分[2] (first integral) あるいは単に積分とも呼ばれる[3]。一般に力学の問題が与えられたとき、系の自由度の数に等しい数の第一積分を見出すことができれば、その問題を「解く（求積する）」ことができる（リウヴィルの定理）ため、その存在あるいは具体的な表示を調べることは力学（特に可積分系）の研究において基本的である。
概要

N {\displaystyle N} 次元空間 R N {\displaystyle \mathbb {R} ^{N}} における常微分方程式 d x i d t = F i ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n )     ( i = 1 , 2 , ⋯ , N ) {\displaystyle {\frac {dx_{i}}{dt}}=F_{i}(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})\ \ (i=1,2,\cdots ,N)}

について考える。この方程式の第一積分とは、 R N {\displaystyle \mathbb {R} ^{N}} 上の関数 Φ ( x 1 , x 2 , ⋯ , x N ) {\displaystyle \Phi (x_{1},x_{2},\cdots ,x_{N})} であり、方程式の解軌道 x i ( t ) {\displaystyle x_{i}(t)} に沿って一定値を取るようなもののことを言う[4]。 Φ ( x 1 ( t ) , x 2 ( t ) , ⋯ , x N ( t ) ) = C o n s t . {\displaystyle \Phi (x_{1}(t),x_{2}(t),\cdots ,x_{N}(t))=\mathrm {Const.} }

常微分方程式系のひとつの第一積分 Φ ( x 1 , x 2 , ⋯ , x N ) {\displaystyle \Phi (x_{1},x_{2},\cdots ,x_{N})} が見出されたならば、それを初期値 ( a {\displaystyle a} とおく) と等値した方程式 Φ ( x 1 , x 2 , ⋯ , x N ) = a {\displaystyle \Phi (x_{1},x_{2},\cdots ,x_{N})=a}

をひとつの変数 (例えば x N {\displaystyle x_{N}} ) について解くことにより、 x N {\displaystyle x_{N}} を他の変数を用いて表示することができる。このとき、もとの方程式系は d x i d t = F i ′ ( x 1 , x 2 , ⋯ , x N − 1 ; a )     ( i = 1 , 2 , ⋯ , N − 1 ) {\displaystyle {\frac {dx_{i}}{dt}}=F'_{i}(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{N-1};a)\ \ (i=1,2,\cdots ,N-1)}

という N − 1 {\displaystyle N-1} 変数に関する常微分方程式へと帰着される。それ故に、 N − 1 {\displaystyle N-1} 個の第一積分が見出されたならば、もとの常微分方程式の一般解 x i ( t ; a 1 , a 2 , ⋯ , a N − 1 ) {\displaystyle x_{i}(t;a_{1},a_{2},\cdots ,a_{N-1})} を構成することができる（求積できる）[5]。
リウヴィルの定理

古典力学で扱われるクラスの問題はハミルトン形式の定式化が可能である。これは、系の自由度を n {\displaystyle n} とすると、系の状態を一般化座標 q i {\displaystyle q_{i}} ( i = 1 , 2 , ⋯ , n {\displaystyle i=1,2,\cdots ,n} ) および一般化運動量 p i {\displaystyle p_{i}} ( i = 1 , 2 , ⋯ , n {\displaystyle i=1,2,\cdots ,n} ) の組 ( p 1 , p 2 , ⋯ , p n , q 1 , q 2 , ⋯ , q n ) {\displaystyle (p_{1},p_{2},\cdots ,p_{n},q_{1},q_{2},\cdots ,q_{n})} によって（つまり位相空間の点として）記述するものであり、運動方程式は、ハミルトニアン H ( p , q ) {\displaystyle H(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )} を用いたハミルトンの正準方程式 d p i d t = − ∂ H ∂ q i ,     d q i d t = ∂ H ∂ p i {\displaystyle {\frac {dp_{i}}{dt}}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}},\ \ {\frac {dq_{i}}{dt}}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}}