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出典検索?: "フーリエ変換" ? ニュース ・ 書籍 ・ スカラー ・ CiNii ・ J-STAGE ・ NDL ・ dlib.jp ・ ジャパンサーチ ・ TWL（2013年2月）
上は時間領域で表現された矩形関数f(t)（左）と、周波数領域で表現されたそのフーリエ変換f?(ω)（右）。f?(ω)はSinc関数である。下は時間遅れのある矩形関数 g(t) と、そのフーリエ変換 ?(ω)。 時間領域における平行移動 (ディレイ)は、周波数領域では虚数部の位相シフトとして表現される。

数学においてフーリエ変換（フーリエへんかん、英: Fourier transform、FT）は、実変数の複素または実数値関数 f {\displaystyle f} を、別の同種の関数ˆfに写す変換である。

工学においては、変換後の関数ˆfはもとの関数 f {\displaystyle f} に含まれる周波数を記述していると考え、しばしばもとの関数 f {\displaystyle f} の周波数領域表現 (frequency domain representation) と呼ばれる。言い換えれば、フーリエ変換は関数 f {\displaystyle f} を正弦波・余弦波に分解するとも言える。

フーリエ変換 (FT) は他の多くの数学的な演算と同様にフーリエ解析の主題を成す。特別の場合として、もとの関数とその周波領域表現が連続かつ非有界である場合を考えることができる。「フーリエ変換」という言葉は関数の周波数領域表現のことを指すこともあるし、関数を周波数領域表現へ写す変換の過程・公式を言うこともある。なおこの呼称は、19世紀フランスの数学者・物理学者で次元解析の創始者とされるジョゼフ・フーリエに由来する。
定義
絶対可積分関数に対する定義

絶対可積分関数 f: R → C のフーリエ変換の定義として、よく用いられるものにもいくつか異なる流儀がある[1]。本項では

f ^ ( ξ ) := ∫ − ∞ ∞ f ( x ) e − 2 π i x ξ d x {\displaystyle {\hat {f}}(\xi ):=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\xi }\,dx}

を定義として用いる。ここでギリシャ文字小文字の ξ は任意の実数である。（他の流儀による定義については後述 → #その他の定義）

対象の関数における独立変数が物理量の場合、フーリエ変換は独立変数の次元をもとの逆数に移す。例えば、変換前の関数における独立変数 x が時間の次元をもつとき、変換後の独立変数 ξ は周波数の次元を持つ。あるいは、変換前の独立変数 x が長さの次元をもつとき、変換後の独立変数 ξ は波数の次元を持つ。この性質は定義より x ξ が無次元量であることから従う。

適当な条件のもと、f はその変換 ˆf からフーリエ逆変換 (inverse transform)

f ( x ) := ∫ − ∞ ∞ f ^ ( ξ ) e 2 π i x ξ d ξ {\displaystyle f(x):=\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\xi )e^{2\pi ix\xi }\,d\xi }

によって復元することができる（x は任意の実数）。
超関数としての定義

上記の絶対可積分関数の定義では、次のような関数は ∫ − ∞ ∞ 。 f ( x ) 。 d x = ∞ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|dx=\infty } のため絶対可積分ではなく、フーリエ変換が定義できない。・ f ( x ) = c {\displaystyle f(x)=c} （ c {\displaystyle c} はゼロ以外の定数）・ f ( x ) = x n {\displaystyle f(x)=x^{n}} （ n {\displaystyle n} は自然数）・周期関数（ f ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)=0} を除く）

このように、周期関数のようなフーリエ級数展開が可能な関数が、絶対可積分関数の意味でフーリエ変換できないことは非常に不便であり、またフーリエ変換の理解を難しくしている。

そこで、フーリエ変換の定義を超関数に拡張することが行われる。

超関数とは、急減少関数（シュワルツ空間の元である関数）の列 { f n ( x ) } n = 1 ∞ {\displaystyle \{f_{n}(x)\}_{n=1}^{\infty }} であって、任意の急減少関数 ϕ ( x ) {\displaystyle \phi (x)} について lim n → ∞ ∫ − ∞ ∞ f n ( x ) ϕ ( x ) d x {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{-\infty }^{\infty }f_{n}(x)\phi (x)dx} が存在するものを言い、２つの急減少関数の列 { f n ( x ) } n = 1 ∞ {\displaystyle \{f_{n}(x)\}_{n=1}^{\infty }} 、 { g n ( x ) } n = 1 ∞ {\displaystyle \{g_{n}(x)\}_{n=1}^{\infty }} が、任意の急減少関数 ϕ ( x ) {\displaystyle \phi (x)} について lim n → ∞ ∫ − ∞ ∞ f n ( x ) ϕ ( x ) d x = lim n → ∞ ∫ − ∞ ∞ g n ( x ) ϕ ( x ) d x {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{-\infty }^{\infty }f_{n}(x)\phi (x)dx=\lim _{n\to \infty }\int _{-\infty }^{\infty }g_{n}(x)\phi (x)dx} が成り立つとき、 { f n ( x ) } {\displaystyle \{f_{n}(x)\}} と { g n ( x ) } {\displaystyle \{g_{n}(x)\}} は同一の超関数を表すものとする。