連続の方程式（れんぞくのほうていしき、英: equation of continuity、連続方程式、連続の式、連続式などとも言う）は物理学で一般的に適用できる方程式で、「原因もなく物質が突然現れたり消えたりすることはない」という自然な考え方を表す。保存則と密接に関わっている。

狭義には流体力学における質量保存則 ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ ( ρ v ) = 0 {\displaystyle {\partial \rho \over {\partial t}}+\nabla \cdot (\rho {\boldsymbol {v}})=0} （ρは密度、v は流れの速度、t は時間である。∇はナブラを参照。）

あるいは、この式を非圧縮性流体に適用した ∇ ⋅ v = 0 {\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {v}}=0}

を指す。

広義には、スカラー物理量 q についての保存則 ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ j = 0 {\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot {\boldsymbol {j}}=0} （ρ：q の密度、j：q の流束）

を指し、更に一般化して、q の輸送方程式（一般の保存則） ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ j = σ {\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot {\boldsymbol {j}}=\sigma } （σ：q の湧き出し密度）

を指すこともある。
目次

1 広義の連続の方程式の導出

2 流体における連続の式

2.1 質量保存則

2.2 輸送定理による導出

2.3 非圧縮性流体についての連続の方程式


3 電磁気学における連続の方程式

3.1 電荷保存則

3.2 変位電流

3.3 四元電流


4 量子力学

5 拡散方程式　

6 脚注

6.1 出典


広義の連続の方程式の導出 領域 Ω における物理量 q の総量 M の時間変化を q の生成と流出と合わせて図示したもの。代表点のみの軌跡を記している。青い点の個数はΩにおけるq の総量 M (t ) を表す。ピンクの点の個数は湧き出し Δt S を、黄色の点は流れだす流量 Δt J を表す。図より
Δ M + Δ t J = Δ t S {\displaystyle \Delta M+\Delta tJ=\Delta tS}
( 6 − 5 ) + 3 = 4 {\displaystyle (6-5)+3=4}
が成り立つ事がわかる。

広義の連続の式をフラックス形式あるいは一般の保存則という[1]。q をあるスカラー物理量、Ωを固定された有界積分領域、∂ΩをΩの境界である閉曲面とする。

q についての連続の式は、領域 Ω における q の単位時間あたりの増加量 d M d t {\displaystyle {\mathrm {d} M \over \mathrm {d} t}} と 境界 ∂Ω における q の単位時間あたりの流出量（流量） J との和は、 領域Ωにおける q の単位時間あたりの湧き出し量 S に等しい。 d M d t + J = S {\displaystyle {\mathrm {d} M \over \mathrm {d} t}+J=S}

と表現できる。

ここで q は連続的に分布する量であり、上述の量はすべて何らかの「密度量」で表現できなければいけない。そこで、q の密度 ρ、q の流束 j 、q の湧き出し密度 σ を導入すると、 M = ∫ Ω ρ d V J = ∮ ∂ Ω ⁡ j ⋅ d S S = ∫ Ω σ d V {\displaystyle {\begin{aligned}M&=\int _{\Omega }\rho \,\mathrm {d} V\\J&=\oint _{\partial \Omega }{\boldsymbol {j}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {S}}\\S&=\int _{\Omega }\sigma \mathrm {d} V\end{aligned}}}

と表せる。ここで、dS は、境界 ∂Ω 上の微小素片における外向きの面積ベクトルであり、第2式は流束と面積ベクトルとの積の総和が境界を通って流れ出す q の流量であることを表している。

これにより連続の式は d d t ∫ Ω ρ d V + ∮ ∂ Ω ⁡ j ⋅ d S = ∫ Ω σ d V {\displaystyle {\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}\int _{\Omega }\rho \,\mathrm {d} V+\oint _{\partial \Omega }{\boldsymbol {j}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {S}}=\int _{\Omega }\sigma \mathrm {d} V}