連分数（れんぶんすう、英: continued fraction）とは、分母に更に分数が含まれているような分数のことを指す。分子が全て 1 である場合には特に単純連分数または正則連分数（英: regular continued fraction）ということがある。単に連分数といった場合、正則連分数を指す場合が多い。具体的には次のような形である。 x = a 0 + 1 a 1 + 1 a 2 + 1 a 3 {\displaystyle x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}}}}}}}}

ここで a0 は整数、それ以外の an は正の整数である。正則連分数は、最大公約数を求めるユークリッドの互除法から自然に生じるものであり、古くからペル方程式の解法にも利用された。

連分数を式で表す際には次のような書き方もある。 x = a 0 + 1 a 1 + 1 a 2 + 1 a 3 {\displaystyle x=a_{0}+{\frac {1}{a_{1}+}}\,{\frac {1}{a_{2}+}}\,{\frac {1}{a_{3}}}}

またはx = [a0; a1, a2, a3]

また、極限の概念により、分数を無限に連ねたものも考えられる。 [ a 0 ; a 1 , a 2 , a 3 , … ] = lim n → ∞ [ a 0 ; a 1 , a 2 , a 3 , … , a n ] {\displaystyle \left[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\ldots \right]=\lim _{n\to \infty }\left[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n}\right]}

二次無理数（整数係数二次方程式の根である無理数）の正則連分数展開は必ず循環することが知られている。逆に、正則連分数展開が循環する数は二次無理数である。
連分数展開の例

例として黄金数 φ を考える[1]。φ は x2 − x − 1 = 0 の正の解である。この式を変形すると、 x 2 = x + 1 x = 1 + 1 x = 1 + 1 1 + 1 x = 1 + 1 1 + 1 1 + 1 x {\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}&=x+1\\x&=1+{\frac {1}{x}}\\&=1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{x}}}}\\&=1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{x}}}}}}\end{aligned}}}