数学における二項関係の逆関係（ぎゃくかんけい、英: converse relation）は、関係（のグラフ）に属する順序対の成分を逆順にして得られる関係である。例えば、「?の子である」という関係の逆関係は「?の親である」という関係である。 厳密に言えば、L ⊆ X × Y を X から Y への関係とするとき、その逆関係 L−1 は y L−1 x ⇔ x L y によって定まる関係をいう (Halmos 1975, p. 40)。これは L − 1 = { ( y , x ) ∈ Y × X ∣ ( x , y ) ∈ L } {\displaystyle L^{-1}=\{(y,x)\in Y\times X\mid (x,y)\in L\}} とも書ける。逆関係 L−1 などと書く記法は逆写像の記法の流用である。写像はその多くが逆写像を持たないのに対し、関係は必ず逆関係を持つ。ただし、このような記法を用いているにもかかわらず、逆関係は関係の合成の意味での逆元にはなっていない、つまり一般には L ∘ L − 1 ≠ i d {\displaystyle L\circ L^{-1}\neq \mathrm {id} } であることに注意しなければならない。 逆関係は反対関係 (inverse relation) や（ダガー圏
定義
性質
自分自身を逆関係として持つ関係は対称関係（ダガー圏
通常の順序関係（狭義の順序でも半順序でもよい）の逆関係は、反対順序で与えられる。例えば ( ≤ ) − 1 = ≥ , ( < ) − 1 = > {\displaystyle (\leq )^{-1}={\geq },\quad (<)^{-1}={>}}
などとなる（ここでの括弧は明確化のためのもので必ずしも必要ではない）。 恒等関係を I {\displaystyle I} とおいた時、関係 R {\displaystyle R} に対して、関係の合成にて R ∘ X = I {\displaystyle R\circ X=I} ならば X {\displaystyle X} を右側裏関係といい、 Y ∘ R = I {\displaystyle Y\circ R=I} ならば Y {\displaystyle Y} を左側裏関係という。また、 R {\displaystyle R} に右(左)側裏関係が存在するとき R {\displaystyle R} は右(左)に可逆な関係であるという。右に可逆かつ左に可逆であれば単に可逆あるいは両側可逆という。左に可逆ならば左全域的でなければならないし、右に可逆ならば右一意的でなければならない。ただしここでは関係の合成を、写像の合成の慣例に従った順で定義しているものとする。 写像が（写像として）可逆であるための必要十分条件は、写像の逆関係が再び写像となることである。この逆関係こそが逆写像である。 写像 f: X → Y の逆関係 f−1: Y → X は graph f − 1 = { ( y , x ) ∣ y = f ( x ) } {\displaystyle \operatorname {graph} \,f^{-1}=\{(y,x)\mid y=f(x)\}} で定義される。これは必ずしも写像でなくてもよいが、f が単射であることを課さなければ f−1 は多価
裏（inverses）
写像の逆関係詳細は「対応 (数学)」を参照
当然、 f {\displaystyle f} の逆写像は f {\displaystyle f} との合成で恒等写像すなわち恒等関係を導くので、 f {\displaystyle f} を関係とみなせば f − 1 {\displaystyle f^{-1}} はその裏関係である。
関連項目
全単射
写像
逆写像
二項関係
注釈
参考文献
Halmos, Paul R. (1974), Naive Set Theory