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写像 f とその逆写像 f ?1 。たとえば f は a を 3 に写すから、逆写像 f ?1  は 3 を a に写す。

数学における逆写像（ぎゃくしゃぞう、英: inverse mapping）は一口に言えば写像の与える元の対応関係を「反対」にして得られる写像である。すなわち、写像 f が x を y に写すならば、f の逆写像は y を x に写し戻す[1]。

函数と呼ばれる種類の写像の逆写像は、逆函数 (inverse function) と呼ばれる。
定義f が X から Y への写像ならば f −1 は Y を X へもどす写像である。「逆元」も参照

写像 f の定義域を集合 X, 値域を集合 Y とする。写像 f が可逆 (invertible) であるとは、Y を定義域、X を値域とする写像 g で、条件 f ( x ) = y ⟺ g ( y ) = x {\displaystyle f(x)=y\iff g(y)=x}

を満足するものが存在するときに言う。f が可逆ならば写像 g は一意である（つまり、この性質を満たす写像 g はただ一つ存在して、一つよりも多くも少なくもない）。写像 g を f の逆写像と呼び、f??1 で表す。

別な言い方をすれば、写像が可逆であるための必要十分条件は、その逆関係が再び写像となることである（このとき、逆関係が逆写像を与える）[2]。

必ずしも全ての写像が逆写像を持つわけではなく、上記の条件を適用するためには「値域 Y の各元 y に対して、f で y に写されるような定義域 X の元 x がちょうど一つ存在する」必要がある。この性質を満たす写像 f は一対一あるいは単射と呼ばれる。f および f??1 がそれぞれ X および Y 上の写像となるとき、これらはともに全単射となる。後述するように、全単射とならない単射の逆は部分写像として与えられる（すなわち、対応する値が定義されない y ∈ Y が存在する）。
例

函数 f (x) = x2 はどのような種類の数の集合を（定義域として）考えるのかによって、可逆になることもあるしならないこともある。

定義域として実数直線全体を考えれば、各 y ≠ 0 に対して対応する定義域 X の点が二種類（一方は正で他方は負）が考えられるから、出力値から入力値を特定することができず、これは可逆でない。

この函数の定義域を非負実数全体に制限すれば、得られる函数は単射となり、特に可逆である。
高等数学における逆写像詳細は「写像」および「全単射」を参照

既に述べた定義は集合論および初等解析学によく馴染むものである。進んだ数学では f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y}

と書いて 「f は集合 X の元を集合 Y の元に写す写像である」ことを表す。出元である X を f の始域といい、行先の Y を f の終域という。f の終域は f の値域を部分集合として含み、また終域は f の定義の一部とみなされる[3]。

終域を気にする立場では、写像 f: X → Y の逆写像は始域 Y と終域 X を持つ必要がある。逆写像が Y の全域で定義されるためには、Y の全ての元が写像 f の値域に入っていなければならない。このような性質を持つ写像は上への写像 (onto function) または全射 (surjection) という。ゆえに、終域を持つ写像が可逆となる必要十分条件は、それが一対一かつ上への写像となることである。そのような写像は、一対一対応 (one-to-one correspondence) または全単射 (bijection) といい、Y の各元 y にちょうど一つの元 x ∈ X が対応するという性質を持つ。
逆写像と写像の合成

可逆写像 f の始域が X、値域が Y であるとき f − 1 ( f ( x ) ) = x ( ∀ x ∈ X ) {\displaystyle f^{-1}(f(x))=x\quad (\forall x\in X)}

が成り立つ。写像の合成の言葉で書き直せば f − 1 ∘ f = id X {\displaystyle f^{-1}\circ f=\operatorname {id} _{X}}

となる。ここで idX は集合 X 上の恒等写像（つまり、引数の値を変えない写像）である。圏論ではこれを逆射の定義として用いる。

写像の合成を考えることは f?1 なる記法を用いることの理解を助ける。自分自身と繰り返し合成を取ることは反復合成と呼ばれ、写像 f を初期値 x に n-回適用したものを fn(x) で表す。たとえば f2(x) := f(f(x)) などである。さて f?1(f(x)) = x が成り立つから、f?1 と fn との合成は fn−1 となり、f?1 の適用は f を一つ適用する操作を「取り消す」("undoing") 操作として働く。
記法についての注意

記法 f?1(x) は値 f(x) の乗法逆元を意味する記法 f(x)?1 としばしば誤解されるが、後者は f の逆写像とは無関係である。

数式 sin?1 x は乗法逆元を表すものではなく[4]、正弦函数の逆函数（実際には逆部分函数）を x に適用したものを意味する。混乱を避けるため、逆三角函数には接頭辞 "arc-"（羅: arcus）を付けることがしばしば行われる。例えば正弦函数 sin の逆函数は典型的には逆正弦函数 arcsine と呼ばれ、arcsin と書かれる。同様に双曲線函数の逆函数は接頭辞 "ar-"（英: area）を付ける。
性質
一意性

与えられた写像 f に対して、その逆写像は存在すれば唯一つである。それは f を関係と見たときの逆関係に一致しなければならない。
対称性

写像とその逆写像との間には対称性が存在する。f が X から Y への可逆写像ならば、その逆写像 f?1 は Y から X への写像であり、かつ f?1 の逆写像はもとの写像 f に一致する。記号で書けば、f: X → Y および g: Y → X に対して g ∘ f = id X ⟹ f ∘ g = id Y {\displaystyle g\circ f=\operatorname {id} _{X}\implies f\circ g=\operatorname {id} _{Y}}

が成り立つ。これは関係の逆転が対合であることにより、逆写像と逆関係との間の関係から従う。

この主張は可逆写像が（第一の定義では）単射または（第二の定義では）全単射とならなければならないことから明らかに演繹される帰結である。この対合対称性は ( f − 1 ) − 1 = f {\displaystyle (f^{-1})^{-1}=f}

という式として簡潔に表現できる。g ? f の逆写像は f ?1  ? g−1 である。

合成写像の逆写像は ( g ∘ f ) − 1 = f − 1 ∘ g − 1 {\displaystyle (g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}}

なる式で与えられる。ここで f と g が逆順になっていることに注意。「まず f を施してから g を施す」という操作を取り消すには、「まず g を取り消してから f を取り消す」ようにしなければならない。

たとえば、f(x) = 3x および g(x) = x + 5 とすると、それらの合成 g ? f は、まず 3-倍してから 5 を加える函数 ( g ∘ f ) ( x ) = 3 x + 5 {\displaystyle (g\circ f)(x)=3x+5}

である。この過程を逆にするには、まず 5 を引いて、そのあと 3 で割る ( g ∘ f ) − 1 ( y ) = 1 3 ( y − 5 ) {\displaystyle (g\circ f)^{-1}(y)={\tfrac {1}{3}}(y-5)}

としなければならない。これは f ?1  ? g−1 に等しい。
自己逆性

任意の集合 X に対して、そのうえの恒等写像はそれ自身を逆写像として持つ。つまり id X − 1 = id X {\displaystyle \operatorname {id} _{X}^{-1}=\operatorname {id} _{X}}

が成り立つ。もっと一般に、函数 f: X → X がその逆函数と相等しいための必要十分条件は、合成函数 f ? f が idX に等しいことである。このような写像は対合と呼ばれる。
逆函数

一変数の初等解析学では実数を実数に写す写像である実函数を主に考える。