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逆ガンマ分布確率密度関数

累積分布関数

母数 α > 0 {\displaystyle \alpha >0} 形状母数（英語版）
β > 0 {\displaystyle \beta >0} 尺度母数（英語版）
台 ( 0 , ∞ ) {\displaystyle (0,\infty )}
確率密度関数 β α Γ ( α ) e − β / x x α + 1 {\displaystyle {\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}{\frac {e^{-\beta /x}}{x^{\alpha +1}}}}
累積分布関数 Γ ( α , β / x ) Γ ( α ) {\displaystyle {\frac {\Gamma (\alpha ,\beta /x)}{\Gamma (\alpha )}}}
期待値 β α − 1 {\displaystyle {\frac {\beta }{\alpha -1}}} for α > 1 {\displaystyle \alpha >1}
中央値 β Γ − 1 ( α , Γ ( α ) / 2 ) {\displaystyle {\frac {\beta }{\Gamma ^{-1}(\alpha ,\Gamma (\alpha )/2)}}}
最頻値 β α + 1 {\displaystyle {\frac {\beta }{\alpha +1}}}
分散 β 2 ( α − 2 ) ( α − 1 ) 2 {\displaystyle {\frac {\beta ^{2}}{(\alpha -2)(\alpha -1)^{2}}}} for α > 2 {\displaystyle \alpha >2}
歪度 4 α − 2 α − 3 {\displaystyle {\frac {4{\sqrt {\alpha -2}}}{\alpha -3}}} for α > 3 {\displaystyle \alpha >3}
尖度 6 ( 5 α − 11 ) ( α − 4 ) ( α − 3 ) {\displaystyle {\frac {6(5\alpha -11)}{(\alpha -4)(\alpha -3)}}} for α > 4 {\displaystyle \alpha >4}
エントロピー α + ln ⁡ ( β Γ ( α ) ) − ( 1 + α ) ψ ( α ) {\displaystyle \alpha +\ln(\beta \Gamma (\alpha ))-(1+\alpha )\psi (\alpha )} , ψ {\displaystyle \psi } はディガンマ関数
モーメント母関数なし
特性関数 2 ( − i β x ) α / 2 K α ( 2 − i b x ) Γ ( α ) {\displaystyle {\frac {2(-i\beta x)^{\alpha /2}K_{\alpha }(2{\sqrt {-ibx}})}{\Gamma (\alpha )}}} , K {\displaystyle K} は第2種変形ベッセル関数
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逆ガンマ分布（ぎゃくガンマぶんぷ、英語: inverse gamma distribution）は連続確率分布の一種で、その母数は2つである。ガンマ分布に従う確率変数の逆数は逆ガンマ分布に従う。
定義と性質

逆ガンマ関数の確率密度関数は形状母数（英語版） α > 0 {\displaystyle \alpha >0} 、尺度母数（英語版） β > 0 {\displaystyle \beta >0} で、台 ( 0 , ∞ ) {\displaystyle (0,\infty )} の上で f ( x ; α , β ) = β α Γ ( α ) e − β / x x α + 1 {\displaystyle f(x;\alpha ,\beta )={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}{\frac {e^{-\beta /x}}{x^{\alpha +1}}}}

と定義される[1]。ここで Γ {\displaystyle \Gamma } はガンマ関数である。尺度母数について f ( x ; α , β ) = 1 β f ( x / β ; α , 1 ) {\displaystyle f(x;\alpha ,\beta )={\frac {1}{\beta }}f(x/\beta ;\alpha ,1)}

である。逆ガンマ分布の累積分布関数は次のように表される。 F ( x ; α , β ) = Γ ( α , β / x ) Γ ( α ) {\displaystyle F(x;\alpha ,\beta )={\frac {\Gamma (\alpha ,\beta /x)}{\Gamma (\alpha )}}}

ここで分子の Γ {\displaystyle \Gamma } は不完全ガンマ関数である。
モーメント

α > n {\displaystyle \alpha >n} の場合、 n {\displaystyle n} 次のモーメントは E [ X n ] = β n Γ ( α − n ) Γ ( α ) = β n ( α − n ) ⋯ ( α − 1 ) {\displaystyle E[X^{n}]=\beta ^{n}{\frac {\Gamma (\alpha -n)}{\Gamma (\alpha )}}={\frac {\beta ^{n}}{(\alpha -n)\dotsb (\alpha -1)}}}