近似法（きんじほう）とは関数の厳密値や方程式の厳密解を求めるときに、それが不可能または困難であるか、簡便のために近似値あるいは近似解を得る方法である。
無理数の近似

実数（特に無理数）を有理数により近似することはディオファントス近似として知られている[1]。例えば円周率 π = 3.14159... {\displaystyle \pi =3.14159...} の有理数による近似値として、古代エジプトでは 256/81 = 3.16049... が、古代バビロニアでは 25/8 = 3.125 が知られていた[2]。アルキメデスは

223 71 < π < 22 7 {\displaystyle {\frac {223}{71}}<\pi <{\frac {22}{7}}}

を証明した[3]（詳細は円周率の歴史を見よ）。ディオファントス近似は連分数と密接な関係がある[1]。詳細は「近似値」を参照
テイラー展開

テイラー展開を用いる。

関数f (x ) のx = a の近傍における近似値を考える。f (x )をx = a においてテイラー展開すれば f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( a ) n ! ( x − a ) n {\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}}

となる。x -a の値が十分小さければ、高次の項は無視することができる。とくに2次以上を無視すれば f ( x ) ≃ f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) {\displaystyle f(x)\simeq f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)}

となる。また、n 次の項まで考えたものをn 次近似と呼ぶ。すなわち上の例は1次近似である。
具体例

主要な関数の x ≃ 0 {\displaystyle x\simeq 0} における2次近似を挙げておく。

e x ≃ 1 + x + x 2 2 {\displaystyle e^{x}\simeq 1+x+{\frac {x^{2}}{2}}}

ln ⁡ ( 1 + x ) ≃ x − x 2 2 {\displaystyle \ln(1+x)\simeq x-{\frac {x^{2}}{2}}}

( 1 + x ) n ≃ 1 + n x + n ( n − 1 ) 2 x 2 {\displaystyle (1+x)^{n}\simeq 1+nx+{\frac {n(n-1)}{2}}x^{2}}

sin ⁡ x ≃ x {\displaystyle \sin x\simeq x}

cos ⁡ x ≃ 1 − x 2 2 {\displaystyle \cos x\simeq 1-{\frac {x^{2}}{2}}}

漸近展開

特殊関数などの関数の振る舞いはしばしば漸近展開によって記述される。関数列 { φ n } n = 0 ∞ {\displaystyle \{\varphi _{n}\}_{n=0}^{\infty }} が点 x 0 {\displaystyle x_{0}} における漸近関数列であるとは、すべての n {\displaystyle n} で

φ n + 1 ( x ) = o ( φ n ( x ) )     x → x 0 {\displaystyle \varphi _{n+1}(x)=o(\varphi _{n}(x))\ \ x\to x_{0}}

が成り立つことをいう（点 x 0 {\displaystyle x_{0}} としては無限遠 x 0 = ∞ {\displaystyle x_{0}=\infty } でもよい）[4]。そのうえで、ある関数 f {\displaystyle f} の点 x 0 {\displaystyle x_{0}} における (広義の) 漸近級数とは、形式級数 ∑ n = 0 ∞ a n φ n ( x ) {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\varphi _{n}(x)} ですべての k {\displaystyle k} に対して

f ( x ) − ∑ n = 0 k a n φ n ( x ) = o ( φ k ( x ) ) {\displaystyle f(x)-\sum _{n=0}^{k}a_{n}\varphi _{n}(x)=o\left(\varphi _{k}(x)\right)}

を満足するもののことを言う[4]。このとき

f ( x ) ∼ ∑ n = 0 ∞ a n φ n ( x ) {\displaystyle f(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\varphi _{n}(x)}

と表記する[4]。

漸近級数は一般には発散級数であってもよく、しかししばしばその有限項の和がもとの関数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} をよく近似する[5]。例えば関数

f ( x ) = x ∫ 0 ∞ e − t x + t d t {\displaystyle f(x)=x\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{x+t}}dt}

は x → ∞ {\displaystyle x\to \infty } でスティルチェス級数を漸近展開として持つ[6]。

f ( x ) ∼ ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n n ! x n {\displaystyle f(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}n!x^{n}}

f ( 10 ) {\displaystyle f(10)} の値はスティルチェス級数の第9項までの和により誤差 3.6 × 10 − 4 {\displaystyle 3.6\times 10^{-4}} で評価できる[7]。ただしスティルチェス級数は発散級数であり、さらに多くの和を計算すると逆に誤差が増大する[7]。詳細は「漸近展開」を参照
多項式近似

区間 [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]} で定義された連続関数 f {\displaystyle f} を多項式により近似することを考える。このような近似が可能であることはストーン＝ワイエルシュトラスの定理によって保証されている。なお一般の区間 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} の場合、変数変換

x = a + b 2 + b − a 2 t {\displaystyle x={\frac {a+b}{2}}+{\frac {b-a}{2}}t}

により区間 [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]} の問題に帰着できる[8]。

ある多項式 p {\displaystyle p} が問題の関数 f {\displaystyle f} をどの程度「良く」近似できているのかは、区間 [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]} における一様ノルム

‖ p − f ‖ = max x ∈ [ − 1 , 1 ] 。 p ( x ) − f ( x ) 。 {\displaystyle \|p-f\|=\max _{x\in [-1,1]}\left|p(x)-f(x)\right|}

によって表現される[9]。例えば区間 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} を等間隔の n {\displaystyle n} 区間 [ x i , x i + 1 ] {\displaystyle [x_{i},x_{i+1}]} ( x i = a + ( b − a ) i / n {\displaystyle x_{i}=a+(b-a)i/n} ) に分割し、各小区間の端点 x i {\displaystyle x_{i}} での関数値 f i ( x i ) {\displaystyle f_{i}(x_{i})} のラグランジュ補間を近似多項式として採用することを考える。