転置行列（てんちぎょうれつ、英: transpose [of a matrix], transposed matrix）とは、m 行 n 列の行列 A に対して A の (i, j) 要素と (j, i) 要素を入れ替えてできる n 行 m 列の行列のことである[1]。転置行列は tA, AT, A⊤, Atr, A′ などと示される。行列の転置行列を与える操作のことを転置（てんち、英: transpose）といい、「A を転置する」などと表現する。

特に正方行列に対しては、転置行列は各成分を対角成分で折り返した行列になる。
定義

m × n行列 A = [ a 1 , 1 ⋯ a 1 , n ⋮ ⋱ ⋮ a m , 1 ⋯ a m , n ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{1,1}&\cdots &a_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m,1}&\cdots &a_{m,n}\end{bmatrix}}}

の転置行列 tA は t A = [ a 1 , 1 ⋯ a m , 1 ⋮ ⋱ ⋮ a 1 , n ⋯ a m , n ] {\displaystyle {}^{t}A={\begin{bmatrix}a_{1,1}&\cdots &a_{m,1}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{1,n}&\cdots &a_{m,n}\end{bmatrix}}}

で定義される。このとき tA は n × m行列である。
性質

A, B は行列、k, l はスカラーとして各演算が定義できる限りにおいて以下のことが成り立つ。

転置の転置は元の行列を与える[1]（対合性）：t tA = A

和の転置は転置の和を与える[1]（加法性）：t(A + B) = tA + tB

行列のスカラー倍の転置は転置行列のスカラー倍を与える[1]（斉次性）：t(kA) = k tA

斉次性および加法性から線型性が成り立つ：t(kA + lB) = k tA + l tB


積の転置は積の左右を入れ替えた転置の積を与える[1]：t(AB) = tB tA

正方行列の性質


逆行列の転置は転置の逆行列を与える[2]：t(A−1) = (tA)−1

n 次正方行列 A の跡を tr A で表すと tr A = tr tA

n 次正方行列 A の行列式を det A で表すと det A = det tA[3]

n 次実正方行列 A, n 次ベクトル x, y に対して、標準内積を ⟨·, ·⟩ で表すと、⟨Ax, y⟩ = ⟨x, tAy⟩

転置行列により定義される行列

転置により定義される特別な行列として以下がある[4]。

対称行列：転置が元の行列と等しい (tA = A）

反対称行列：転置が元の行列に −1 をかけたものになる（tA = −A)

直交行列：転置が元の行列の逆行列になる（tA = A−1)

これらの行列はそれぞれ随伴行列（行列のエルミート共役）に対するエルミート行列、歪エルミート行列、ユニタリ行列に相当する。
線形写像との関係詳細は「転置写像」を参照