転置行列（てんちぎょうれつ、英: transpose [of a matrix], transposed matrix）とは、m 行 n 列の行列 A に対して A の (i, j) 要素と (j, i) 要素を入れ替えてできる n 行 m 列の行列のことである[1]。転置行列は tA, AT, A⊤, Atr, A′ などと示される。行列の転置行列を与える操作のことを転置（てんち、英: transpose）といい、「A を転置する」などと表現する。
特に正方行列に対しては、転置行列は各成分を対角成分で折り返した行列になる。 m × n行列 A = [ a 1 , 1 ⋯ a 1 , n ⋮ ⋱ ⋮ a m , 1 ⋯ a m , n ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{1,1}&\cdots &a_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m,1}&\cdots &a_{m,n}\end{bmatrix}}} の転置行列 tA は t A = [ a 1 , 1 ⋯ a m , 1 ⋮ ⋱ ⋮ a 1 , n ⋯ a m , n ] {\displaystyle {}^{t}A={\begin{bmatrix}a_{1,1}&\cdots &a_{m,1}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{1,n}&\cdots &a_{m,n}\end{bmatrix}}} で定義される。このとき tA は n × m行列である。 A, B は行列、k, l はスカラーとして各演算が定義できる限りにおいて以下のことが成り立つ。 転置により定義される特別な行列として以下がある[4]。 これらの行列はそれぞれ随伴行列（行列のエルミート共役）に対するエルミート行列、歪エルミート行列、ユニタリ行列に相当する。 m × n 行列 A を n 次元ベクトル空間 V から m 次元ベクトル空間 W への線形写像 f : V → W とみなすとき、A の転置行列 tA には f の転置写像 tf が対応する。これは W の双対空間 W* から V の双対空間 V* への線形写像 tf : W* → V* で、y* ∈ W* に対して t f = y ∗ ∘ f {\displaystyle {}^{t}f=y^{*}\circ f} によって定義される[5]。この定義は y ∈ W と y* ∈ W* の自然なペアリングを y*(y) = ⟨y, y*⟩ と表記すれば、x ∈ V に対して ⟨ f ( x ) , y ∗ ⟩ = ⟨ x , t f ( y ∗ ) ⟩ {\displaystyle \langle f(x),y^{*}\rangle =\langle x,{}^{t}f(y^{*})\rangle } という関係式によって書き直すこともできる[6]。
定義
性質
転置の転置は元の行列を与える[1]（対合性）：t tA = A
和の転置は転置の和を与える[1]（加法性）：t(A + B) = tA + tB
行列のスカラー倍の転置は転置行列のスカラー倍を与える[1]（斉次性）：t(kA) = k tA
斉次性および加法性から線型性が成り立つ：t(kA + lB) = k tA + l tB
積の転置は積の左右を入れ替えた転置の積を与える[1]：t(AB) = tB tA
正方行列の性質
逆行列の転置は転置の逆行列を与える[2]：t(A−1) = (tA)−1
n 次正方行列 A の跡を tr A で表すと tr A = tr tA
n 次正方行列 A の行列式を det A で表すと det A = det tA[3]
n 次実正方行列 A, n 次ベクトル x, y に対して、標準内積を ⟨·, ·⟩ で表すと、⟨Ax, y⟩ = ⟨x, tAy⟩
転置行列により定義される行列
対称行列：転置が元の行列と等しい (tA = A）
反対称行列：転置が元の行列に −1 をかけたものになる（tA = −A)
直交行列：転置が元の行列の逆行列になる（tA = A−1)
線形写像との関係詳細は「転置写像」を参照
脚注
出典^ a b c d e 斎藤2017 p.31
^ 斎藤2017 p.32
^ 斎藤2017 p.90
^ 斎藤2017 p.74
^ Bourbaki 1998, p. 234, Definition 5
^ Bourbaki 1998, p. 235
参考文献
ニコラ・ブルバキ (1998) [1970]. Algebra I. Chapters 1-3
斎藤正彦『線形代数学』（第3版）東京図書、2017年4月10日。ISBN 978-4-489-02179-4。
関連項目
対称行列
反傾行列
随伴行列
反対称行列
直交行列