「軌道 (力学)」とは異なります。

力学系における軌道（きどう）とは、初期条件に対して時間発展のルールを適用したときに定まる、相空間上の点の集合である。連続的な時間を仮定した系だと、軌道は相空間内で一本の曲線となり、離散的な時間を仮定した系だと、軌道は相空間内で点列となる。
定義
一般

力学系を定める相空間を X、時間を G、時間発展のルールを ϕ: G × X → X とする。ある t ∈ G に固定したときの ϕ を写像 ϕt と表し、X ∋ x ? ϕt(x) ∈ X である。G は結合法則 t1 + t2 (t1, t2 ∈ T) で表される群構造を持ち、ϕt は、
ϕ e = i d {\displaystyle \phi ^{e}=\mathrm {id} }

ϕ t 1 ∘ ϕ t 2 = ϕ t 1 + t 2 {\displaystyle \phi ^{t_{1}}\circ \phi ^{t_{2}}=\phi ^{t_{1}+t_{2}}}

という性質を満たす[1][2]。ここで e は G の単位元、id は恒等写像、? は写像の合成を意味する。

このような力学系 X, T, ϕt において O ( x 0 ) = { x ∈ X ∣ ϕ t ( x 0 ) , t ∈ T } {\displaystyle O(x_{0})=\{x\in X\mid \phi _{t}(x_{0}),t\in T\}}

で定義される X の順序部分集合 O(x0) を軌道（英: orbit、英: trajectory）と呼ぶ[3]。ただし、t が取り得る値は ϕt (x0) が定義されている範囲に限られる[3]。O(x0) は「x0 を通る軌道」と呼ばれる[4][5]。軌道の記号には、O(x0 [6][7][4][8][9][10]の他に、𝒪(x0) [5][11]、C(x0) [12]、γ(x0) [13][14]、Γ(x0) [15]、Orb(x0) [16]などの表記がある。

群論の言葉では軌道は次のように定義される。上記を満たす写像 ϕ を、群 G の集合 X への作用という。この作用 ϕ について、X 上の2点 x0, y が適当な t を選びさえすれば ϕt (x0) = y という関係を満たすとき、x0, y は同値関係 x0 ∼ y にあると定義する。この同値関係によって X を分ける同値類が軌道 O(x0) である[17]。

時間 G が整数 ℤ のときの力学系を離散力学系と呼び、G が実数 ℝ のときを連続力学系と呼ぶ[18][16]。相空間上のどの点も初期値となりうるので、相空間は何かしらの軌道によって完全に埋め尽くされる[19]。力学系理論の主目的は、系の軌道の性質・振る舞いを調べることにある[20][21]。特に力学系理論の場合、時間が正または負の無限大に発散するときの漸近的振る舞いを問題とする[22][23][21]。軌道同士の相互関係や、系に摂動が加わったときに起こる軌道全体の構造の変化なども力学系理論の題目である[21]。
離散力学系二次元離散力学系の軌道の例。