数学の線型代数学において、正方行列の跡（せき、英: trace; トレース、独: Spur; シュプール）あるいは対角和（たいかくわ）とは、主対角成分の総和である。つまり tr ⁡ [ a 1 , 1 a 1 , 2 … a 1 , n a 2 , 1 a 2 , 2 … a 2 , n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n , 1 a n , 2 … a n , n ] = a 1 , 1 + a 2 , 2 + ⋯ + a n , n {\displaystyle \operatorname {tr} {\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\dots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\dots &a_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&a_{n,2}&\dots &a_{n,n}\end{bmatrix}}=a_{1,1}+a_{2,2}+\dotsb +a_{n,n}}

を指す。それは基底変換に関して不変であり、また固有値の総和（固有値和）に等しい。ゆえに、行列の跡は行列の相似に関する不変量であり、そこから、行列に対応する線型写像の跡として定義することができる。

行列の跡は、正方行列に対してのみ定義されることに注意せよ。この語は（この同じ数学的対象を意味する）ドイツ語のSpurからの翻訳借用である。
定義
座標に依らない定義
係数体 F 上有限次元ベクトル空間 V 上の自己線型作用素全体の成す空間 L(V,V) を V の双対空間とのテンソル積と V ∗ ⊗ V → L ( V , V ) ; h ⊗ v ↦ ( w ↦ h ( w ) v ) {\displaystyle V^{*}\otimes V\to {\mathcal {L}}(V,V);\;h\otimes v\mapsto (w\mapsto h(w)v)}

によって同一視することができる。このとき、標準的な双線型写像 t : V ∗ × V → F ; t ( w ∗ , v ) = w ∗ ( v ) ( w ∗ ∈ V ∗ , v ∈ V ) {\displaystyle t\colon V^{*}\times V\to F;\;t(w^{*},v)=w^{*}(v)\quad (w^{*}\in V^{*},\,v\in V)}

から（テンソル積の普遍性により）導かれるテンソル積空間上の線型写像 tr: V* ⊗ V → F を跡（トレース）と呼ぶ。
座標を用いた定義
体 K 上のベクトル空間 V 上の線形写像 f が有限次元の像を持つとき、V の有限個の元 x1, …, xn と双対空間 V* の元 y1, …, yn が存在して f(z) = ∑ yi(z) xi (∀z ∈ V) となっている。このとき、∑yi(xi) は x1, …, xn と y1, …, yn の選び方によらず f のみによって定まる量となり、f の跡あるいは指標 (distribution character) tr(f) とよばれる。
行列の跡
V が有限次元のとき、基底 {ei} とその双対基底 {ej} を取れば、ei ⊗ ej は線型写像のこの基底に関する表現行列の (i, j)-成分であり、任意の行列 A は A = ∑ i , j a i , j e i ⊗ e j {\displaystyle A=\textstyle \sum \limits _{i,j}a_{i,j}\,e_{i}\otimes e^{j}}

と書ける。したがってこの跡 tr ⁡ ( A ) = ∑ i , j a i j tr ⁡ ( e i ⊗ e j ) = ∑ i , j a i j δ i j = ∑ i = 1 n a i i {\displaystyle \operatorname {tr} (A)=\textstyle \sum \limits _{i,j}a_{ij}\operatorname {tr} (e_{i}\otimes e^{j})=\sum \limits _{i,j}a_{ij}\delta _{ij}=\sum \limits _{i=1}^{n}a_{ii}}

は対角線に沿った成分の和である（ここで、δ はクロネッカーのデルタ）。
性質
基本性質

以下、X, Y は適当なサイズの正方行列とする。

行列のトレースは線型である:

tr(X + Y) = tr(X) + tr(Y),

tr(cX) = c tr(X) (c はスカラー).


tr(XY) = tr(YX).[注釈 1]

これらの性質はトレースを以下の意味で普遍性を持つものとして特徴づける:

f(XY) = f(YX) を満たす線型汎函数は tr の定数倍に限る[1]。