「室町家」とは異なります。

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足利氏の家紋　Wikipedia足利氏より引用

足利将軍家（あしかがしょうぐんけ）は、足利氏の惣領家（宗家）のうち、とくに足利尊氏以来の、代々室町幕府の将軍職を世襲した一家（軍事貴族）。初代尊氏の後は2代として嫡男義詮が継ぎ、3代足利義満を経て、15代義昭まで続く。2代義詮以降、歴代将軍は諱において義の字を通字とした。
足利将軍家の成立過程

足利氏の本姓は源氏で、清和源氏の一家系河内源氏の嫡流たる武家の名門である。その系譜をたどれば源氏の祖経基以来、満仲、頼信、頼義、そして名高き八幡太郎源義家に至るまで5代にわたり、武家の栄誉である鎮守府将軍に任ぜられ、国内の兵乱を平定、朝廷の信望を得るとともに東国を拠点として武家の棟梁としての名声を上げた。義国の次男である源義康が下野国足利荘に住し、足利氏が興った。

鎌倉時代、足利義兼は源頼朝と遠縁の同族であり、また父が頼朝の父・源義朝と浅からぬ縁があったこと、頼朝の御台所・北条政子の妹（北条時子）を正室としたこともあり、幕府の信望を得て門葉として遇された。源氏将軍が3代源実朝の代で滅ぶと、源氏の嫡流として武家の尊敬を集めたが、幕政を牛耳った執権北条氏から警戒の念を抱かれたとみられ、時には一門から処罰される者を出しながらも、代々の当主が北条氏との縁戚関係を結んでいたこともあり、他の門葉や名族が粛清されていく中、名跡を保ち続けた。

所領も下野、陸奥、三河、丹波など西国にも及び、支族は数十にも及ぶ有力御家人であった。後醍醐天皇の討幕挙兵が明らかになった後は当初、幕府軍として京都に進撃したが、丹波で鎌倉幕府の追討宣旨を奉じて足利尊氏が朝廷方に転じ、後醍醐天皇の建武の新政に貢献した。

しかし、公家一統の支配確立を目指す後醍醐天皇の政治が様々な混乱を呼ぶとともに、武家の不満が集積し、尊氏は後醍醐天皇の皇統とは宿敵にあたる持明院統の光厳上皇の院宣を受けて、北朝を樹立、自身は征夷大将軍に任ぜられた。こうして、足利宗家を将軍家として新たな武家政権が成立することになった。
室町殿

足利将軍は当初は鎌倉幕府の継承者として「鎌倉殿」と呼ばれていた時期もあったが、足利義満が京都の室町通（現存する）沿いに将軍の邸宅を構えると、将軍の邸宅及び将軍そのものを「室町殿」と呼ぶようになり、後の室町幕府という語の由来となった（花の御所）。

但し、室町殿は将軍である場合が多いが、そうでない場合もある。足利義満は、1394年（応永元年）に将軍職を当時9歳の嫡男の足利義持に譲ったが、室町殿として保持している守護の任命権は1408年（応永15年）に死ぬまで手放さなかった。義持も同様に、1425年（応永32年）に将軍職を嫡男の足利義量に譲ったが、室町殿として政務を握り続けた[1]。
公家としての足利将軍家

足利義満の時代になると、足利将軍家（室町殿）は朝廷内においてもその地位を高め、最終的には太政大臣にまで昇って公家社会の頂点に立った。次代の義持以降も一部修正はあるものの、足利将軍家は公卿に昇進して応仁の乱までは大臣にまで昇進可能である摂家・清華家級の家格となった。このため、足利将軍家も摂関家や清華家と同じように中下級の公家、特に将軍家と婚姻関係を結んだ日野流や実務に長けた勧修寺流の公家などを自己の家司として家政を補佐させるなど、公家社会の有力な一員となった[2]。