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数学における自然数の組合せ論的函数（二項係数・階乗類似函数）として、超階乗（ちょうかいじょう、英: superfactorial）n$ は階乗の拡張となるものである。ただし、幾つかの異なる定義が存在する。
ピックオーバーの超階乗

クリフォード・ピックオーバー（英語版）は1995年に著書 Keys to Infinity[1] において、次の超階乗を定義するために新しい表記 n$ を用いた。[2] n $ = n ! n ! ⋅ ⋅ ⋅ n ! ⏟ n ! 個　の   n ! {\displaystyle n\$=\underbrace {{n!}^{{n!}^{\,\textstyle \cdot ^{\,\textstyle \cdot ^{\,\textstyle \cdot ^{\,n!}}}}}} _{n!\,{\text{個　の}}\ \,n!}}

ガンマ関数、ハイパー演算子、テトレーション、クヌースの矢印表記、コンウェイのチェーン表記を用いた場合は次のようになる。

n ! [ 4 ] n ! {\displaystyle n![4]n!}

n ! [ 5 ] 2 {\displaystyle n![5]2}

n ! n ! {\displaystyle {{}^{n!}n!}}

n ! ↑↑ n ! {\displaystyle n!\uparrow \uparrow n!}

n ! ↑↑↑ 2 {\displaystyle n!\uparrow \uparrow \uparrow 2}

Γ ( n + 1 ) ↑↑↑ 2 {\displaystyle \Gamma (n+1)\uparrow \uparrow \uparrow 2}

n ! → n ! → 2 {\displaystyle n!\rightarrow n!\rightarrow 2}

n ! → 2 → 3 {\displaystyle n!\rightarrow 2\rightarrow 3}

Γ ( n + 1 ) → 2 → 3 {\displaystyle \Gamma (n+1)\rightarrow 2\rightarrow 3}

最初のほうのいくつかを見れば： 0 $ = 0 ! 0 ! = 1 1 = 1 1 $ = 1 ! 1 ! = 1 1 = 1 2 $ = 2 ! 2 ! = 2 2 = 2 2 3 $ = 3 ! 3 ! = 6 6 = 6 6 6 6 6 6 4 $ = 4 ! 4 ! = 24 24 = 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 {\displaystyle {\begin{aligned}0\$&={}^{0!}0!={}^{1}1=1\\1\$&={}^{1!}1!={}^{1}1=1\\2\$&={}^{2!}2!={}^{2}2=2^{2}\\3\$&={}^{3!}3!={}^{6}6=6^{6^{6^{6^{6^{6}}}}}\\4\$&={}^{4!}4!={}^{24}24=24^{24^{24^{24^{24^{24^{24^{24^{24^{24^{24^{24^{24^{24^{24^{24^{24^{24^{24^{24^{24^{24^{24^{24}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\end{aligned}}}