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4次元超立方体

超立方体（ちょうりっぽうたい、hypercube）とは、2次元の正方形、3次元の立方体、4次元の正八胞体を各次元に一般化した正多胞体である。なお、0次元超立方体は点、1次元超立方体は線分である。

正測体（せいそくたい）、γ体（ガンマたい）とも言い、n 次元超立方体を γ n {\displaystyle \gamma _{n}} と書く。

正単体、正軸体と並んで、5次元以上での3種類の正多胞体の1つである。

単に超立方体と言った場合は特に四次元の超立方体(tesseract)を指すこともある。

右図は、四次元超立方体を二次元に投影した図である。立方体を二次元に投影した場合と同様に、各辺の長さや成す角度は歪んでいるが、実際の辺の長さはすべて等しく、角も直角である。胞（立方体）の数は、投影図において外側の大きな立方体、内側の立方体、これら2つの対応する面をそれぞれ結ぶ（対応する稜線を4つ選ぶ）部分に6つあり、胞は計8つである。
作図

超立方体を作図するには、

( ± 1 , ± 1 , ⋯ , ± 1 ) {\displaystyle (\pm 1,\pm 1,\cdots ,\pm 1)}

を頂点とし、最も近い（距離2の）頂点同士を辺で結べばよい。複号は全ての組み合わせを取る。

こうして作図された超立方体は、n 次元ユークリッド空間を R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} で表して

{ x ∈ R n : ‖ x ‖ ∞ ≤ 1 } {\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ^{n}:\|x\|_{\infty }\leq 1\}}

でも定義できる。
性質

特にことわらない限り、辺の長さが a の n 次元超立方体について述べる。

超体積は

a n {\displaystyle a^{n}\,}

超表面積は

2 n a n − 1 {\displaystyle 2na^{n-1}\,}

である。

ファセット (n - 1 次元面) は n - 1 次元超立方体である。したがって一般に、m (0 ≤ m ≤ n - 1) 次元面は m 次元超立方体である。たとえば、正八胞体（4次元超立方体）の面（2次元面）は正方形（2次元超立方体）、胞（3次元面）は立方体（3次元超立方体）である。

対角線の長さは、

n a {\displaystyle {\sqrt {n}}a\,}

である。

m 次元面の個数は

2 n − m n C m {\displaystyle 2^{n-m}{}_{n}\operatorname {C} _{m}}

である。これはパスカルのピラミッド（英語版）の第 n + 1 段の三角形の第 m + 1 段（頂点を下にした場合）の数字の総和に等しい。対角線に沿って見た場合、次元面たちは数字通りのグループに分割される。これは、 3 n = ( 1 + 2 ) n {\displaystyle 3^{n}=(1+2)^{n}} を二項展開し、 3 n = ( 1 + 1 + 1 ) n {\displaystyle 3^{n}=(1+1+1)^{n}} を三項展開することで示すことができる。特に、頂点（0次元面）は 2 n {\displaystyle 2^{n}} 個、辺（1次元面）は 2 n − 1 n {\displaystyle 2^{n-1}n} 個、ファセットは 2 n {\displaystyle 2n} 個である。 n C m {\displaystyle {}_{n}\operatorname {C} _{m}} はパスカルの三角形の第 n + 1 段の m + 1 番目の数字であり、n - 1 次元単体の m - 1 次元面の個数である。

m (0 ≤ m ≤ n - 2) 次元面に集まるl (m + 1 ≤ l ≤ n - 1) 次元面の個数は

n − m C l − m {\displaystyle {}_{n-m}\operatorname {C} _{l-m}}

である。これはパスカルの三角形の第 n - m + 1 段の l - m + 1 番目の数字であり、n - m - 1 次元単体の l - m - 1 次元面の個数である。

双対は正軸体である。

任意の l 次元面と m 次元面（l ≠ m でもよい）は、接する場合直交し、それ以外は直角（ねじれの位置で）か平行である。特に、隣り合うファセットは直交し、それ以外のファセットは平行である。また、頂点には n 本の辺が集まり、互いに直交する。
関連項目

多胞体

組合せ (数学)

表

話

編

歴
次元
定義

相似次元

容量次元

位相次元

ハウスドルフ次元

ミンコフスキー次元

フラクタル次元

整数次元

0次元

1次元

2次元

3次元

4次元

5次元

6次元 (6DoF)

7次元

8次元

9次元

10次元

11次元

ポリトープ

超平面

超曲面

超立方体

超直方体

超球面

超矩形

半超立方体

正軸体

単体

多胞体

その他

座標軸

測度論

2.5次元

フラクタル幾何

自由度



カテゴリ

ポータル:数学


外部リンク

⇒三角四角のしゃぼん玉?

四次元立方体をhtmlとcssのみで表現