この項目では、一般次元多様体について説明しています。
余次元 1 の多様体については「超球面 (超曲面)」をご覧ください。
直交射影としての 2 次元球面ワイヤフレーム立体射影が球面の表面を平面に射影できるのと全く同じように、3 次元球面の表面も 3 次元空間に射影できる。このイメージは 3 次元空間に射影された 3 つの座標方向を示している： parallels（赤）、meridians
数学において、n 次元球面（n-じげんきゅうめん、英: n-sphere, n 球面）は普通の球面の n 次元空間への一般化である。任意の自然数 n に対して、半径 r の n 次元球面は中心点から距離 r にある (n + 1) 次元ユークリッド空間における点の集合として定義される。ここで半径 r は任意の正の実数でよい。したがって、原点を中心とする n 次元球面は S n = { x ∈ R n + 1 : ‖ x ‖ = r } {\displaystyle S^{n}=\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}:\|x\|=r\}}
によって定義される。これは (n + 1) 次元ユークリッド空間内に存在する n 次元多様体である。
特に：
零次元球面は二点、すなわち直線内の（一次元の対象である）線分の零次元の対象である端点の対、
一次元球面は円、すなわち平面内の（二次元の対象である）円板の一次元の対象である円周、
二次元球面は三次元空間における（三次元の対象である）球体の二次元の対象である表面
である。
次元 n > 2 の球面は超球面 (hypersphere)[注釈 1] と呼ばれることがあり、3 次元球面は glome と呼ばれることがある。原点に中心のある半径 1 の n 次元球面は n-次元単位球面または単位 n 次元球面 (unit n-sphere) と呼ばれ、Sn と表記される。単位 n 次元球面はしばしば the n-sphere と呼ばれる。
n 次元球面は (n + 1) 次元球体の表面あるいは境界であり、n 次元多様体である。n ? 2 に対して、n 次元球面は正の定曲率（英語版）の単連結 n 次元多様体である。n 次元球面にはいくつかの他の位相的記述がある。例えば、2 つの n 次元ユークリッド空間を貼り合わせることによって、n-次元超立方体の境界を一点と同一視することによって、あるいは (n − 1) 次元球面の懸垂を（帰納的に）作ることによって構成できる。 任意の（0を含む）自然数 n に対して、半径 r の n 次元球面は (n + 1) 次元ユークリッド空間のある固定された点 c から距離 r にある点全体の集合として定義される。ここで r は任意の正の実数でよく、c は (n + 1) 次元空間の任意の点でよい。特に： n-次元球面 Sn を定義する (n + 1)-次元空間内の点 (x1, x2, …, xn+1) 全体の成す集合は、方程式 r 2 = ∑ i = 1 n + 1 ( x i − c i ) 2 {\displaystyle r^{2}=\sum _{i=1}^{n+1}(x_{i}-c_{i})^{2}} によって表される、ただし c = (c1, c2, …, cn+1) は中心であり r は半径である。 上の n 次元球面は (n + 1) 次元ユークリッド空間に存在し、n 次元多様体の例である。半径 r の n 次元球面の体積形式 ω は ω = 1 r ∑ j = 1 n + 1 ( − 1 ) j − 1 x j d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x j − 1 ∧ d x j + 1 ∧ ⋯ ∧ d x n + 1 = ∗ d r {\displaystyle \omega ={1 \over r}\sum _{j=1}^{n+1}(-1)^{j-1}x_{j}\,dx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{j-1}\wedge dx_{j+1}\wedge \cdots \wedge dx_{n+1}=*\;dr}
解説
零次元球面は点のペア {c − r, c + r} であり、線分（一次元球体）の境界である。
一次元球面は中心が c にある半径 r の円であり、円板（二次元球体）の境界である。
二次元球面は三次元ユークリッド空間内の通常の二次元球面であり、通常の球体（三次元球体）の境界である。
三次元球面は四次元ユークリッド空間内の球面である。
(n + 1) 次元空間におけるユークリッド座標
