初等幾何学における球体は決められた点から決められた距離以内にある点の全体が空間において占める領域であった。同様のことを n-次元ユークリッド空間で行って n-次元超球体が定義される。n-次元超球体の体積率[注釈 1]は数学全般を通して現れる重要な定数の一種である。
目次

1 公式

1.1 明示公式

1.2 漸化式

1.3 高次元の場合における体積の評価

1.4 表面積との関係


2 証明

2.1 体積は半径の n 乗に比例する

2.2 2次元漸化式

2.3 1次元漸化式

2.4 球座標における直接積分

2.5 ガウス積分


3 Lp-ノルムに関する球体

4 注釈

5 参考文献

6 関連項目

7 外部リンク

公式
明示公式

最初のいくつかの次元次元半径 R の球の体積体積 V の球の半径
0 1 {\displaystyle 1} 全ての球の体積は1
1 2 R {\displaystyle 2R} V / 2 {\displaystyle V/2}
2 π R 2 {\displaystyle \pi R^{2}} V 1 / 2 π {\displaystyle {\frac {V^{1/2}}{\sqrt {\pi }}}}
3 4 3 π R 3 {\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi R^{3}} ( 3 V 4 π ) 1 / 3 {\displaystyle \left({\frac {3V}{4\pi }}\right)^{1/3}}
4 π 2 2 R 4 {\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{2}}R^{4}} ( 2 V ) 1 / 4 π {\displaystyle {\frac {(2V)^{1/4}}{\sqrt {\pi }}}}
5 8 π 2 15 R 5 {\displaystyle {\frac {8\pi ^{2}}{15}}R^{5}} ( 15 V 8 π 2 ) 1 / 5 {\displaystyle \left({\frac {15V}{8\pi ^{2}}}\right)^{1/5}}
6 π 3 6 R 6 {\displaystyle {\frac {\pi ^{3}}{6}}R^{6}} ( 6 V ) 1 / 6 π {\displaystyle {\frac {(6V)^{1/6}}{\sqrt {\pi }}}}
7 16 π 3 105 R 7 {\displaystyle {\frac {16\pi ^{3}}{105}}R^{7}} ( 105 V 16 π 3 ) 1 / 7 {\displaystyle \left({\frac {105V}{16\pi ^{3}}}\right)^{1/7}}
8 π 4 24 R 8 {\displaystyle {\frac {\pi ^{4}}{24}}R^{8}} ( 24 V ) 1 / 8 π {\displaystyle {\frac {(24V)^{1/8}}{\sqrt {\pi }}}}
9 32 π 4 945 R 9 {\displaystyle {\frac {32\pi ^{4}}{945}}R^{9}} ( 945 V 32 π 4 ) 1 / 9 {\displaystyle \left({\frac {945V}{32\pi ^{4}}}\right)^{1/9}}
10 π 5 120 R 10 {\displaystyle {\frac {\pi ^{5}}{120}}R^{10}} ( 120 V ) 1 / 10 π {\displaystyle {\frac {(120V)^{1/10}}{\sqrt {\pi }}}}
nVn(R)Rn(V)

半径 R の n-次元ユークリッド球面の体積は V n ( R ) = π n / 2 Γ ( n 2 + 1 ) R n {\displaystyle V_{n}(R)={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}R^{n}} で与えられる[1]。