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出典がまったく示されていないか不十分です。内容に関する文献や情報源が必要です。（2013年10月）


正確性に疑問が呈されています。（2013年10月）
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数学において、一般化された超幾何関数（いっぱんかされたちょうきかかんすう、英: generalized hypergeometric function）は、一般に r F s [ a 1 , a 2 , … , a r b 1 , b 2 , … , b s ; z ] := ∑ n = 0 ∞ ( a 1 ) n ( a 2 ) n ⋯ ( a r ) n ( b 1 ) n ( b 2 ) n ⋯ ( b s ) n z n n ! {\displaystyle _{r}F_{s}\left[{\begin{matrix}a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{r}\\b_{1},b_{2},\dotsc ,b_{s}\end{matrix}};z\right]:=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1})_{n}(a_{2})_{n}\dotsb (a_{r})_{n}}{(b_{1})_{n}(b_{2})_{n}\dotsb (b_{s})_{n}}}{\frac {z^{n}}{n!}}}

の形式で表される級数である[1]。ただし、 ( x ) 0 := 1 , ( x ) n := ∏ k = 0 n − 1 ( x + k ) {\displaystyle {\begin{aligned}(x)_{0}&:=1,\\(x)_{n}&:=\prod _{k=0}^{n-1}(x+k)\\\end{aligned}}}

はポッホハマー記号である。

r + 1 F r {\displaystyle _{r+1}F_{r}} 型超幾何級数
r + 1 F r [ α 0 , α 1 , … , α r β 1 , … , β r ; x ] = ∑ k = 0 ∞ ( α 0 ) k ( α 1 ) k ⋯ ( α r ) k ( 1 ) k ( β 1 ) k ⋯ ( β r ) k x k {\displaystyle _{r+1}F_{r}\left[{\begin{matrix}\alpha _{0},\alpha _{1},\dotsc ,\alpha _{r}\\\beta _{1},\dotsc ,\beta _{r}\end{matrix}};x\right]=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(\alpha _{0})_{k}(\alpha _{1})_{k}\dotsb (\alpha _{r})_{k}}{(1)_{k}(\beta _{1})_{k}\dotsb (\beta _{r})_{k}}}{x^{k}}}
ガウスの超幾何関数

古典的にはガウスの超幾何関数

F ( a , b ; c ; z ) := 2 F 1 [ a , b c ; z ] = ∑ n = 0 ∞ ( a ) n ( b ) n ( c ) n z n n ! {\displaystyle F(a,b;c;z):={_{2}F_{1}}\left[{\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix}};z\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a)_{n}(b)_{n}}{(c)_{n}}}{\frac {z^{n}}{n!}}}

を単に超幾何級数という[2][3][4]。なお、厳密にいうと、右辺の級数が超幾何級数であり、左辺の記号は原点の近傍で絶対収束する冪級数の和とそれから解析接続によって定義される解析関数としての超幾何関数を表すものである。
超幾何級数

級数 ∑ n = 0 ∞ t n {\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }t_{n}} の連続する項の比が n の有理関数であるとき、これを超幾何級数（hypergeometric series）という[5]。慣習的にはあらかじめ初項を括り出しておき、定義に t0 = 1 も含め正規化する。定義から t n + 1 t n = P ( n ) Q ( n ) {\displaystyle {\frac {t_{n+1}}{t_{n}}}={\frac {P(n)}{Q(n)}}}