超幾何分布確率質量関数

累積分布関数

母数 N ∈ { 0 , 1 , 2 , ⋯ } K ∈ { 0 , 1 , 2 , ⋯ , N } n ∈ { 0 , 1 , 2 , ⋯ , N } {\displaystyle {\begin{aligned}N&\in \left\{0,1,2,\cdots \right\}\\K&\in \left\{0,1,2,\cdots ,N\right\}\\n&\in \left\{0,1,2,\cdots ,N\right\}\end{aligned}}}
台 { max { 0 , n + K − N } , ⋯ , min { n , K } } {\displaystyle \left\{\max\{0,\,n+K-N\},\,\cdots ,\,\min\{n,\,K\}\right\}}
確率質量関数 ( K k ) ( N − K n − k ) ( N n ) {\displaystyle {\frac {{\binom {K}{k}}{\binom {N-K}{n-k}}}{\binom {N}{n}}}}
累積分布関数 1 − ( n k + 1 ) ( N − n K − k − 1 ) ( N K ) 3 F 2 [ 1 ,   k + 1 − K ,   k + 1 − n k + 2 ,   N + k + 2 − K − n ; 1 ] , {\displaystyle 1-{\frac {{\binom {n}{k+1}}{\binom {N-n}{K-k-1}}}{\binom {N}{K}}}\,{}_{3}\!F_{2}\!\!\left[{\begin{array}{c}1,\ k+1-K,\ k+1-n\\k+2,\ N+k+2-K-n\end{array}};1\right],} p F q {\displaystyle {}_{p}\!F_{q}} は一般超幾何関数
期待値 n K N {\displaystyle n{K \over N}}
最頻値 ⌊ ( n + 1 ) ( K + 1 ) N + 2 ⌋ {\displaystyle \left\lfloor {\frac {(n+1)(K+1)}{N+2}}\right\rfloor }
分散 n K N N − K N N − n N − 1 {\displaystyle n{\frac {K}{N}}{\frac {N-K}{N}}{\frac {N-n}{N-1}}}
歪度 ( N − 2 K ) ( N − 1 ) 1 2 ( N − 2 n ) [ n K ( N − K ) ( N − n ) ] 1 2 ( N − 2 ) {\displaystyle {\frac {(N-2K)(N-1)^{\frac {1}{2}}(N-2n)}{[nK(N-K)(N-n)]^{\frac {1}{2}}(N-2)}}}
尖度

1 n K ( N − K ) ( N − n ) ( N − 2 ) ( N − 3 ) ⋅ {\displaystyle \left.{\frac {1}{nK(N-K)(N-n)(N-2)(N-3)}}\cdot \right.} [ ( N − 1 ) N 2 ( N ( N + 1 ) − 6 K ( N − K ) − 6 n ( N − n ) ) + {\displaystyle {\Big [}(N-1)N^{2}{\Big (}N(N+1)-6K(N-K)-6n(N-n){\Big )}+} 6 n K ( N − K ) ( N − n ) ( 5 N − 6 ) ] {\displaystyle 6nK(N-K)(N-n)(5N-6){\Big ]}}
モーメント母関数 ( N − K n ) 2 F 1 ( − n , − K ; N − K − n + 1 ; e t ) ( N n ) {\displaystyle {\frac {{\binom {N-K}{n}}\scriptstyle {{}_{2}\!F_{1}(-n,-K;N-K-n+1;e^{t})}}{\binom {N}{n}}}}
特性関数 ( N − K n ) 2 F 1 ( − n , − K ; N − K − n + 1 ; e i t ) ( N n ) {\displaystyle {\frac {{\binom {N-K}{n}}\scriptstyle {{}_{2}\!F_{1}(-n,-K;N-K-n+1;e^{it})}}{\binom {N}{n}}}}
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超幾何分布（ちょうきかぶんぷ、英: hypergeometric distribution）とは、成功状態をもつ母集団から非復元抽出したときに成功状態がいくつあるかという確率を与える離散確率分布の一種である。男女・合否などのように2種の排他的属性に分割できる有限母集団からの非復元抽出に適用される。超幾何分布と対照的[注 1]な確率分布には二項分布がある。
定義

超幾何分布とは K 個の成功状態をもつ N 個の要素よりなる母集団から n 個の要素を非復元抽出したときに k 個の成功状態が含まれている確率を与える離散確率分布の一種である。