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超実数（ちょうじっすう、英: hyperreal number）または超準実数（ちょうじゅんじっすう、英: nonstandard reals）と呼ばれる数の体系は無限大量や無限小量を扱う方法の一つである。超実数の全体 *R は実数体 R の拡大体であり、 1 + 1 + ⋯ + 1 {\displaystyle 1+1+\cdots +1}
の形に書けるいかなる数よりも大きい元を含む。そのような数は無限大であり、その逆数は無限小である。"hyper-real" の語はエドウィン・ヒューイット（英語版）が1948年に導入した[1][2]。
超実数は（ライプニッツの経験則的な連続の法則（英語版）を厳密なものにした）移行原理（英語版）を満たす。この移行原理は、R についての一階述語論理の真なる主張は *R においても真であることを主張する。例えば、加法の可換則 x + y = y + x は、実数と全く同様に、超実数に対しても成り立つ。また、 R は実閉体であるから、*R も実閉体である。また、任意の整数 n に対して sin(πn) = 0 が成立するから、任意の超準整数 H に対しても sin(πH) = 0 が成立する。超冪に対する移行原理は1955年のウォシュの定理の帰結である。
無限小を含むような論法の健全性に関する歴史は、アルキメデスがそのような証明を取り尽くし法など他の手法によって置き換えた、古代ギリシャ時代の数学にまで遡る。1960年代にはロビンソンが、超実数体が論理的に無矛盾であることと実数体が論理的に無矛盾であることが同値であることを示した。これは、ロビンソンが描いた論理的な規則に従って操作されなければ、あらゆる無限小を含む証明が不健全になる恐れが残ることを示している。
超実数の応用、特に解析学における諸問題への移行原理の適用は超準解析と呼ばれる。例えば、微分や積分のような解析学の基礎概念を複数の量化子を用いる論理的複雑さを回避して直接的に定義することがある。つまり、f (x) の導関数は、 f ′ ( x ) = s t ( f ( x + Δ x ) − f ( x ) Δ x ) {\displaystyle f'(x)={\rm {st}}\left({\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\right)}
になる。ただし、Δx は無限小超実数で、st(･) とは有限超実数から実数への関数で、「有限超実数にそれに無限に近いただ一つの実数への関数」という標準部関数（英語版）[要出典]である。積分も同様に、適切な無限和の標準部によって定義される。 超実数の体系のアイデアは、実数の集合 R を拡張し、代数の基本公理を変更することなく無限小や無限大を含む体系 *R を構成するというものである。「任意の数 x に対し?」という形のいかなる主張も、実数にとって真であれば超実数にとっても真である。例えば「任意の数 x に対し x + 0 = x」という公理にもあてはまる。複数の変数に対する量化、例えば「任意の数 x, y に対しても、xy = yx」などでも同じことが成り立つ。この「実数体に対する主張を超実数体に対して引き移す」ことができるということを移行原理
移行原理
しかしながら、移行原理は、R と *R とが全く同一の振る舞いを持つということを意味しない。例えば、*R において、次のような性質をもつ元 ω が存在する（即ち *R は非アルキメデス的である）： 1 < ω , 1 + 1 < ω , 1 + 1 + 1 < ω , 1 + 1 + 1 + 1 < ω , … . {\displaystyle 1<\omega ,\quad 1+1<\omega ,\quad 1+1+1<\omega ,\quad 1+1+1+1<\omega ,\ldots .}
しかし、R にはそのような元は存在しない。これは、ω が存在しないことは一階論理の主張では表現することができないから、起こりうるのである。 実数でない量の非正式な概念は、2 つの文脈にそって歴史的に微積分学において現れる。1 つは dx のような無限小として、もう 1 つは広義積分の極限において使われる ∞ という記号として現れる。
解析学における利用