この項目では、冪根のある種の一般化について説明しています。超冪 (hyper­exponentiation) の逆については「テトレーション#超冪根」をご覧ください。
実変数のブリング根のグラフ

代数学における実数 a の超冪根（ちょうべきこん、英: ultra­radical）あるいはブリング根（ブリングこん、Bring radical）は、ブリング標準形と呼ばれる五次多項式 x 5 + x + a = 0 {\displaystyle x^{5}+x+a=0} [注釈 1] の唯一の実数根を言う。エルランド・サミュエル・ブリング（英語版）が導入した。

複素数 a のブリング根は、上と同じ多項式の任意の根（多価函数として扱う）とするか、何らかの意味で特定した一つの根とするか（この場合、a が実数のときは実数値であり、かつ実数直線の近傍で解析的となる複素函数が定められるようにとるのがふつう）の何れかとする。後者では、四つの分岐点が生じるから、ブリング根をガウス平面全体で連続な一つの函数として定義することはできないし、連続となるような定義域としては四つの分岐切断を除外しなければならない。

ジョージ・ジェラード（英語版）は、いくつかの五次方程式が冪根および超冪根を用いて閉じた形で解ける（英語版）（つまり「解の公式」がある）ことを示した（実は任意の五次方程式がこのような形で解ける）。

a の超冪根はしばしば a ∗ {\textstyle {\sqrt[{*}]{a}}} [2] や J a ¯ {\textstyle {\mathcal {J}}\!{\overline {a}}} [3]と書かれる。本項では a のブリング根を BR ⁡ ( a ) {\textstyle \operatorname {BR} (a)} と書くことにする。これは実変数のとき、奇函数で、単調減少かつ非有界であり、十分大きな a に対する漸近挙動は BR ⁡ ( a ) ∼ − a 1 / 5 {\textstyle \operatorname {BR} (a)\sim -a^{1/5}} で与えられる。
五次方程式の標準形について

五次方程式の解を直接得ることは難しい。最も一般の形では x 5 + a 4 x 4 + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 {\displaystyle x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0} と五つの独立した係数を考慮しなければならない。五次方程式の解法として開発された様々な方法において、独立な係数の数を減らすためにチルンハウス変換（英語版）を用いて、より簡単な形の五次方程式に帰着するという方法が一般的に行われる。
主標準形

五次方程式の一般形から、主標準形 (principal quintic form) と呼ばれる三次と四次の項のない形 y 5 + c 2 y 2 + c 1 y + c 0 = 0 {\displaystyle y^{5}+c_{2}y^{2}+c_{1}y+c_{0}=0} に簡約することができる。

一般形の方程式と主標準形の方程式の根が、二次のチルンハウス変換（英語版） y k := x k 2 + α x k + β {\displaystyle y_{k}:=x_{k}^{2}+\alpha x_{k}+\beta } で関係付けられると仮定すると、二つの係数 α, β は終結式から、あるいは根の冪和（英語版）とニュートンの公式（英語版）を用いて、求めることができる。これは α, β の（一次と二次の）連立方程式を与えることとなり、二組の解の何れかを用いてそれらに対応する三つの係数を持つ主標準形方程式が得られる[4]。

この標準形はフェリックス・クラインによる五次方程式の解法に用いられた[5]。
ブリング–ジェラード標準形

五次方程式は主標準形よりもさらに単純化することが可能で、二次の項も消去したブリング–ジェラード標準形 (Bring–Jerrard normal form): v 5 + d 1 v + d 0 = 0 {\displaystyle v^{5}+d_{1}v+d_{0}=0} が導かれる。チルンハウスが試みたように、三次のチルンハウス変換とやはり冪和の公式を用いたのではこれは上手く行かないのだが、1796年にブリング（英語版）は、主標準形の根をブリング–ジェラード標準形の根に結びつける四次のチルンハウス変換 v k := y k 4 + α y k 3 + β y k 2 + γ y k + δ {\displaystyle v_{k}:=y_{k}^{4}+\alpha y_{k}^{3}+\beta y_{k}^{2}+\gamma y_{k}+\delta } を用いることで、問題をうまく回避する方法を発見した。

この四次のチルンハウス変換からくる新たなパラメータによって、ブリングは他のパラメータの次数を下げることに成功し、六つの未知数を含む二次と三次の五つの方程式からなる連立方程式が導かれた。同じ方法を1852年にジェラード（英語版）も発見している[6]が、ジェラードはこの分野においてブリングによる既存の結果があることはおそらく知らなかったようである[7]。五次方程式の一般形からこの標準形への完全な変換は Mathematica[8]やMaple[9]のような計算機代数システムを用いれば容易に得られるだろうけれども、これら複雑な変換を経る必要からも分かる通り、得られる式は（特に四次以下の場合の冪根を用いた解と比べて）膨大であり、係数を変数記号とする五次の一般方程式に対するそれは、計算機にとっても多くのストレージを消費するものとなる[8]。