論理包含（ろんりほうがん、含意（がんい）、内含、英: implication、IMP）は、第1命題が偽または第2命題が真のときに真となる論理演算である。条件文（じょうけんぶん、英: conditional）とほぼ同じものである。論理的帰結（英: logical consequence）や伴意（英: entailment）とは異なる物である。「論理的帰結」を参照

2つの命題 P {\displaystyle P} と Q {\displaystyle Q} に対する論理包含を P ⟹ Q {\displaystyle P\implies Q} などと書き、「 P {\displaystyle P} ならば Q {\displaystyle Q} 」や「 P {\displaystyle P} は Q {\displaystyle Q} を含意する」と読む。また P ⟹ Q {\displaystyle P\implies Q} の形をした命題を仮言命題（hypothetical proposition）、 P {\displaystyle P} をその前件（antecedent）、 Q {\displaystyle Q} をその後件（consequent）などと呼ぶ[1]。
記号

ペアノは、1889年に出版した『算術の諸原理（羅: Arithmetices Principia: Nova Methodo Exposita）』において、命題 " A {\textstyle A} ならば B {\displaystyle B} " を C {\displaystyle C} を逆向きにした記号 ? で「 A {\textstyle A} ? B {\displaystyle B} 」と表現した[2]。また同時に命題 “ A ⊂ B {\displaystyle A\subset B} ” をも「 A {\textstyle A} ? B {\displaystyle B} 」と表わした[注 1][3][4]。ラッセルはペアノにならい、1910年から1913年に出版した『プリンキピア・マテマティカ』において、命題 " A {\textstyle A} ならば B {\displaystyle B} " を「 A ⊃ B {\displaystyle A\supset B} 」と表現した[5]。ゲンツェンはラッセルに従い、命題 " A {\textstyle A} ならば B {\displaystyle B} " を「 A ⊃ B {\displaystyle A\supset B} 」と表現した。ハイティングは、命題 " A {\textstyle A} ならば B {\displaystyle B} " を最初は「 A ⊃ B {\displaystyle A\supset B} 」と表現したが、後になって右向き矢印で「 A → B {\displaystyle A\to B} 」と表現するようになった[6]。
性質

古典論理においては、否定 ¬ と論理和 ∨ で表せる。冒頭の定義はこの式を日本語にしたものである。 ( P → Q ) ⇔ ( ¬ P ∨ Q ) {\displaystyle (P\rightarrow Q)\Leftrightarrow (\lnot P\lor Q)}

なお、直観主義論理においては左向きの矢印しか成り立たない、つまり両辺は等価ではない。

また、古典論理ではド・モルガンの法則により、次のように変形できる。 ( P → Q ) ⇔ ¬ ( P ∧ ¬ Q ) {\displaystyle (P\rightarrow Q)\Leftrightarrow \lnot (P\land \lnot Q)}

ほかに、次のような性質がある。

P → P {\displaystyle P\rightarrow P} （同語反復）

P → ( P ∨ Q ) {\displaystyle P\rightarrow (P\lor Q)}

( P → Q ) → ( ¬ Q → ¬ P ) {\displaystyle (P\rightarrow Q)\rightarrow (\lnot Q\rightarrow \lnot P)} （対偶の法則）

( P → Q ) ∧ ( Q → P ) → ( P ⇔ Q ) {\displaystyle (P\rightarrow Q)\land (Q\rightarrow P)\rightarrow (P\Leftrightarrow Q)} （反対称律、同値）

( P → Q ) ∧ ( Q → R ) → ( P → R ) {\displaystyle (P\rightarrow Q)\land (Q\rightarrow R)\rightarrow (P\rightarrow R)} （推移律、三段論法）

真理値表

P → Q {\displaystyle P\to Q} の真理値表は以下。

命題 P命題 QP → Q
真真真
真偽偽
偽真真
偽偽真

論理包含と条件文の関係

論理包含と条件文は同じものとすることが多い。しかし必ずしもそうではなく、論理包含は「断言」的関係、条件文は「予想」的関係だとして区別し、また、次のように表現し分けることもある。

P ⟹ Q {\displaystyle P\implies Q} （ P   implies   Q {\displaystyle P\ {\text{implies}}\ Q} 、P は Q に包含される）

P → Q {\displaystyle P\to Q} （if P then Q、もし P ならば Q が成り立つ）

ただし、上記の利用法とは異なり ⟹ {\displaystyle \implies } は伴意の記号としても使われることに注意。
例

P が偽ならば、Q の真偽にかかわらず「P ならば Q」が真である (en:Vacuous truth)、という定義は直感的に受け入れ難く、しばしば哲学的な議論の主題となる。以下、いくつかの例とそれについての議論を示す。
数学的な例

例えば「千円以上持っている人は百円以上持っている」という文が（意味深いかどうかはともかくとして）正しいことに異論はないであろう。数学記号を用いると「 x ≧ 1000 ⟹ x ≧ 100 {\displaystyle x\geqq 1000\implies x\geqq 100} 」ということになる。