オアの調和数については「調和数」を、各項の逆数が等差数列であるような数列については「調和数列」をご覧ください。
n = ⌊x⌋ に対する調和数 Hn,1 のグラフ（赤）。これは γ + ln(x)（青）に漸近収斂する。
数学において、n-番目の調和数（ちょうわすう、英: harmonic number）は 1 から n までの自然数の逆数和 H n = 1 + 1 2 + 1 3 + ⋯ + 1 n = ∑ k = 1 n 1 k {\displaystyle H_{n}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}}
である。これは、1 から n までの自然数の調和平均の逆数の n-倍に等しい。
調和数は遥か昔から研究され、数論の各分野において重要である。調和数の極限は、調和級数と呼ばれ（しばしば調和数も含めて一口に調和級数と呼ぶこともある）、リーマンゼータ函数と近しい関係にあり、また種々の特殊函数のさまざまな表示に現れる。
十分大きな数の標本について、その出現頻度がジップの法則に従って分布するとき、全体の中で n-番目の頻度で現れる標本の総頻度は n-番目の調和数である。このことはロングテールおよびネットワーク値
（英語版）の帰結の一種を導く。調和数の積分表示 H n = ∫ 0 1 1 − x n 1 − x d x {\displaystyle H_{n}=\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{n}}{1-x}}\,dx}
はオイラーによる。この等式は簡単な代数的等式 1 − x n 1 − x = 1 + x + … + x n − 1 {\displaystyle {\frac {1-x^{n}}{1-x}}=1+x+\ldots +x^{n-1}}
を使えば明らかである。また、積分の変数を単純に x = 1 − u と変換すれば、Hn のきれいな組合せ論的展開 H n = ∫ 0 1 1 − ( 1 − u ) n u d u = ∫ 0 1 [ ∑ k = 1 n ( − 1 ) k − 1 ( n k ) u k − 1 ] d u = ∑ k = 1 n ( − 1 ) k − 1 ( n k ) ∫ 0 1 u k − 1 d u = ∑ k = 1 n ( − 1 ) k − 1 1 k ( n k ) {\displaystyle {\begin{aligned}H_{n}&=\int _{0}^{1}{\frac {1-(1-u)^{n}}{u}}du=\int _{0}^{1}\left[\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}{\binom {n}{k}}u^{k-1}\right]du\\&=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}{\binom {n}{k}}\int _{0}^{1}u^{k-1}du=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}{\frac {1}{k}}{\binom {n}{k}}\end{aligned}}}
が得られる。同じ表現は、第三レトケシュ恒等式
（英語版）で x1 = 1, ..., xn = 1 とおき、 Π k ( 1 , … , n ) = ( − 1 ) n − k ( k − 1 ) ! ( n − k ) ! {\displaystyle \Pi _{k}(1,\ldots ,n)=(-1)^{n-k}(k-1)!(n-k)!}なる事実を用いることでも得られる。すなわち H n = H n , 1 = ∑ k = 1 n 1 k = ( − 1 ) n − 1 n ! ∑ k = 1 n 1 k 2 Π k ( 1 , … , n ) = ∑ k = 1 n ( − 1 ) k − 1 1 k ( n k ) {\displaystyle H_{n}=H_{n,1}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}=(-1)^{n-1}n!\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}\Pi _{k}(1,\ldots ,n)}}=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}{\frac {1}{k}}{\binom {n}{k}}}
