複素指数函数（ふくそしすうかんすう、英: complex exponential function）とは、数学の複素解析における複素関数で、実関数としての自然指数関数 y = ex = exp(x)（e はネイピア数）を複素数全体に解析接続したものである[1]。
概説複素指数函数のグラフ:

明度は函数の絶対値を表す: 虚軸方向の変化に対して一定であり、実軸方向では右へ行く（引数の実部が大きい）ほど明るくなっているのが分かる。

色相は函数の偏角を表す: 実軸方向の変化に対して一定であり、虚軸方向では引数の虚部に対する周期性が色相の繰り返しパターンから読み取れる。

具体的には、複素指数函数は次の冪級数で与えられる： exp ⁡ ( z ) := ∑ n = 0 ∞ z n n ! {\displaystyle \exp(z):=\textstyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {z^{n}}{n!}}}

したがって、複素指数函数は整関数である。

オイラーの公式、複素数についての指数法則：ea eb = ea+b より、複素指数函数は、実関数で代数的に与えられる：z = x + yi（x, y は実数）（i は虚数単位）に対して、 exp ⁡ ( x + i y ) = e x ( cos ⁡ y + i sin ⁡ y ) {\displaystyle \exp(x+iy)=e^{x}(\cos y+i\sin y)} [2][3]

複素数全体からなる加法群を C, 非零複素数からなる乗法群を C* で表すとき、複素指数函数 exp: C → C* は、位相群の準同型（連続指標）のうちで微分可能かつ exp′(1) = 1 を満たすものとして特徴づけられる[4]。

実数 x をexp(ix) = cos(x) + isin(x)（オイラーの公式）

へ対応させる関数を純虚指数函数といい、右辺を "cos + i sin" の省略形として cis(x) で表す。このとき複素指数函数 exp はexp(z) = exp(x)⋅cis(y)

と表される。これを複素指数函数の定義として採用することもある。

函数 cis: R → U は実数の加法群 R から絶対値 1 の複素数の乗法群 U への全射な連続指標であり、そのようなものの中で cis(2π) = 1（つまり周期 2π あるいは核 ker(cis) = 2πZ）のものとして特徴づけられる[4]。

複素数 z = x + yi（x, y は実数）に対する複素指数函数は、

ガウス平面内の帯 B := {x + yi : −π < y < π} への制限 exp: B → F (F := C ∖ R≤0 (⊂ C*)) は一価の函数として全単射となり、F 上でこの函数の一価な逆函数として対数の主値 Log: F → B が定まる。この Log は正の実半軸 R>0 上の実函数としての自然対数函数 loge の F への解析的延長であり、特に z ∈ F に対して Log(z) = ∫1z.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}dζ/ζ を満たす[5]。複素対数函数は Log の更なる延長として log ⁡ ( z ) := ∫ 1 z d ζ ζ {\displaystyle \log(z):=\int _{1}^{z}{\frac {\mathit {d\zeta }}{\zeta }}} で与えられるが、これは大域的には一価でなく、特異点 z = 0 を囲む閉曲線に沿った積分の寄与によって無限多価性を示す。それでも非零複素数 z に対して等式 exp(log(z)) = z は常に成り立つ（その意味では log はまだ exp の「逆函数」である）。
定義.mw-parser-output .tmulti .thumbinner{display:flex;flex-direction:column}.mw-parser-output .tmulti .trow{display:flex;flex-direction:row;clear:left;flex-wrap:wrap;width:100%;box-sizing:border-box}.mw-parser-output .tmulti .tsingle{margin:1px;float:left}.mw-parser-output .tmulti .theader{clear:both;font-weight:bold;text-align:center;align-self:center;background-color:transparent;width:100%}.mw-parser-output .tmulti .thumbcaption{background-color:transparent}.mw-parser-output .tmulti .text-align-left{text-align:left}.mw-parser-output .tmulti .text-align-right{text-align:right}.mw-parser-output .tmulti .text-align-center{text-align:center}@media all and (max-width:720px){.mw-parser-output .tmulti .thumbinner{width:100%!important;box-sizing:border-box;max-width:none!important;align-items:center}.mw-parser-output .tmulti .trow{justify-content:center}.mw-parser-output .tmulti .tsingle{float:none!important;max-width:100%!important;box-sizing:border-box;align-items:center}.mw-parser-output .tmulti .trow>.thumbcaption{text-align:center}}exp(x + iy) の実部exp(x + iy) の虚部

複素指数函数の定義の仕方は大まかに2通りある。
級数による定義[6]
任意の複素数 z に対して exp ⁡ ( z ) := ∑ n = 0 ∞ z n n ! {\displaystyle \exp(z):=\textstyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {z^{n}}{n!}}}

これは整関数である。
実函数を用いた定義[2][3]