行列表示 - 暇つぶしWikipedia

行列表示

量子力学において、行列表示（ぎょうれつひょうじ）とは、演算子を行列、状態ベクトルを縦ベクトルとして計算する方法である。

実際に計算機を用いて計算を行う場合は、微積分などの演算子を使う形式よりも行列表示の方が扱いやすい。
演算子の行列要素

任意の完全正規直交系 { 。 1 ⟩ , … , 。 m ⟩ , … , 。 n ⟩ , … } {\displaystyle \left\{|1\rangle ,\dotsc ,|m\rangle ,\dotsc ,|n\rangle ,\dotsc \right\}} をひとつ選ぶと、これを用いて演算子と状態ベクトルは以下のように展開できる。 A ^ = 1 ^ A ^ 1 ^ = ∑ m , n 。 m ⟩ ⟨ m 。 A ^ 。 n ⟩ ⟨ n 。 = ∑ m , n 。 m ⟩ A m n ⟨ n 。。 ψ ⟩ = 1 ^ 。 ψ ⟩ = ∑ n 。 n ⟩ ⟨ n 。 ψ ⟩ = ∑ n ψ n 。 n ⟩ {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {A}}&={\hat {1}}{\hat {A}}{\hat {1}}=\sum _{m,n}|m\rangle \langle m|{\hat {A}}|n\rangle \langle n|=\sum _{m,n}|m\rangle A_{mn}\langle n|\\|\psi \rangle &={\hat {1}}|\psi \rangle =\sum _{n}|n\rangle \langle n|\psi \rangle =\sum _{n}\psi _{n}|n\rangle \end{aligned}}}

この ⟨ m 。 A ^ 。 n ⟩ = A m n {\displaystyle \langle m|{\hat {A}}|n\rangle \ =A_{mn}\ } を、「演算子 A ^ {\displaystyle {\hat {A}}\ } の行列要素」と呼ぶ。
行列表示での計算

このように行列表示をすれば、「状態ベクトル。 ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } に演算子 A ^ {\displaystyle {\hat {A}}\ } を作用して、新たな状態ベクトル。 ψ ′ ⟩ {\displaystyle |\psi '\rangle } を得た」 A ^ 。 ψ ⟩ = 。 ψ ′ ⟩ {\displaystyle {\hat {A}}|\psi \rangle =|\psi '\rangle }

ということは、「行列 ( A m n ) {\displaystyle (A_{mn})} と縦ベクトル ( ψ n ) {\displaystyle (\psi _{n})} のかけ算で、新たな縦ベクトル ( ψ n ′ ) {\displaystyle (\psi '_{n})} を得た」 ∑ n A m n ψ n = ψ m ′ {\displaystyle \sum _{n}\ A_{mn}\psi _{n}=\psi '_{m}}

あるいは ( A 11 A 12 ⋯ A 21 ⋱ ⋮ A m n ⋮ ⋱ ⋯ ) ( ψ 1 ⋮ ψ n ⋮ ) = ( ψ 1 ′ ⋮ ψ m ′ ⋮ ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &&\\A_{21}&\ddots &&&\\\vdots &&A_{mn}&&\vdots \\&&&\ddots &\\&&\cdots &&\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\ \psi _{1}\\\ \vdots \\\ \psi _{n}\\\ \vdots \\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\ \psi '_{1}\\\ \vdots \\\ \psi '_{m}\\\ \vdots \\\end{pmatrix}}}

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